Clases de Pontryagin de$\mathbb{CP}^{2n}\#\mathbb{CP}^{2n}$

Question

Estoy tratando de calcular el Pontryagin clases de $\mathbb{CP}^{2n}\#\mathbb{CP}^{2n}$. Pero no tengo ni idea de cómo hacerlo. Traté de usar Mayer-Vietoris y creo que $$ p_k(\mathbb{CP}^{2n}\#\mathbb{CP}^{2n}) = {2n+1\elegir k}(x^{2} +y^2)^k $$ para $k < n$ $x,y$ son dos generadores de $H^2(\mathbb{CP}^{2n}\#\mathbb{CP}^{2n}$). Pero yo no veo cómo calcular la parte superior Pontryagin clase.

Edit 1: he cambiado la fórmula ligeramente.

Edit 2: Para $k<n$ tenemos un isomorfismo de Mayer Vietoris secuencia $$H^k(\mathbb{CP}^{2n}\#\mathbb{CP}^{2n}) \cong H^k(\mathbb{CP}^{2n}\setminus D) \oplus H^k(\mathbb{CP}^{2n}\setminus D),$$ where $D$ is a small open $4n$--Disk. We can choose $D$ such that there is a $\mathbb{CP}^{2n-1} \subconjunto\mathbb{CP}^{2n}\setminus D$ which is a strong deformation retract of $\mathbb{CP}^{2n}\setminus D$ (I don't know if this is necessary). Let $i \colon \mathbb{CP}^{2n}\setminus D \to \mathbb{CP}^{2n}\# \mathbb{CP}^{2n}$ be the inclusion map and $\tau$ the tangent bundle of $\mathbb{CP}^{2n}\# \mathbb{CP}^{2n}$. We (should) have that $^*(\tau)$ is the tangent bundle of $\mathbb{CP}^{2n}$ restricted to $\mathbb{CP}^{2n}\setminus D$. Hence for $k<n$ $$ p_k(i^*(\tau)) ={2n+1\elegir k}x^{2k}, $$ donde $x \in H^2(\mathbb{CP}^{2n})$ es apropiado un generador.

Answer 1

Usted puede poner las estructuras de las células en $M, N,$$M \# N$, de modo que $(M \# N)_{n-1} \cong M_{n-1} \vee N_{n-1}$, y así que este isomorfismo aspectos (las restricciones de) tangente paquetes, donde en el último espacio que hemos pegado los paquetes juntos en la basepoints por algunos isomorfismo entre el$T_p M$$T_{p'} N$. Como corolario, se obtiene un isomorfismo (por debajo de la parte superior grado) $H^k(M \# N) \cong H^k(M) \oplus H^k(N)$, y este isomorfismo aspectos característicos de las clases. Esto contesta a tu pregunta para $k < n/4$.

En la parte superior de grado, recuerde que los números de Pontryagin (y por lo tanto la parte superior Pontryagin clase en la dimensión $n = 4k$) son invariantes bajo orientada bordism, y $M \# N$ está orientado bordant a $M \sqcup N$ donde $p_k(M \sqcup N) = p_k(M) + p_k(N)$. Por lo $$p_n(\Bbb{CP}^{2n} \# \Bbb{CP}^{2n}) = 2\binom{2n+1}{n}.$$