¿Cómo será la suma si no la definimos sólo sobre pares de números?

Question

En el cálculo por Michael spivak libro dice en la página 4

Podría parecer razonable considerar la adición como una operación que puede realizarse sobre varios números a la vez y considerar la suma $a_1+...+a_n$ de n número $a_1,...,a_n$ como concepto básico . es más conveniente , sin embargo, considerar la adición de pares de números solamente y definir otras sumas en términos de sumas de este tipo

Mis preguntas :
1- ¿Cómo será la suma si no la definimos sólo sobre pares de números?
2- por qué es más conveniente, sin embargo, considerar la adición de pares de números solamente y definir otras sumas en términos de sumas de este tipo s?

Answer 1

¿Cómo será la suma si no la definimos sólo en pares de números?

La respuesta corta es que será la suma, como en $\sum_{i = 1}^n a_i$ .

La respuesta larga es que Spivak escribía en los años 60, para gente recién salida del instituto, que no había oído hablar necesariamente de las leyes asociativas o conmutativas, pero que estaba familiarizada con expresiones como " $a + b + c$ ." Está a punto de demostrar que esa expresión puede justificarse mediante el uso de la ley asociativa de la adición; se anticipa a las objeciones de los lectores que no ven por qué es necesario justificarla en absoluto.

¿por qué es más conveniente, sin embargo, considerar la adición de pares de números solamente y definir otras sumas en términos de sumas de estos tipos?

Porque entonces se pueden definir las propiedades algebraicas de los números reales como consecuencias de las leyes de campo y de orden, las propiedades de Spivak P1-P12, y éstas implican sólo la operación binaria.

Answer 2

A menos que esté entendiendo mal la pregunta, la adición de esta manera sería exactamente lo mismo . Nosotros no sólo definir la adición en pares de números - la definimos en cualquier número de números utilizando la propiedad asociativa. Como hemos definido $$a_1+a_2$$ Entonces podemos expresar una suma de cualquier número de términos $$a_1+a_2+...+a_n$$ como un conjunto de sumas en la forma que hemos definido: $$(((a_1+a_2)+a_3)+...+a_n)$$ La razón por la que esto es más conveniente es porque si fuéramos a definirlo para cualquier número de sumandos, tendríamos que abordar un número infinito de casos. Pero si simplemente definimos $a_1+a_2$ y luego crear la propiedad conmutativa, podemos dejar que haga el trabajo pesado por nosotros, ya que todos los demás casos, utilizando la propiedad conmutativa, se pueden reducir al caso $a_1+a_2.$

Supongo que podría intentar para definirlo para muchos sumandos. Pero si lo hicieras, esto es lo que pasaría:

Actualmente, la suma se define, en el nivel más básico, como una operación iterativa. Si $S(n)$ es la función sucesora $$S(n)=n+1$$ entonces la adición puede expresarse en términos de la función sucesora $$a+b=S^b(a)$$ Sin embargo, los problemas surgen cuando se intenta hacerlo para tres números. Necesitarías una "función sucesora" con múltiples argumentos, pero ¿qué representaría eso? O se podría hacer algo como $$a+b+c=S^{b+c}(a)=S^{S^c(b)}(a)$$ o $$a+b+c=S^c(a+b)=S^c(S^b(a))$$ pero eso es lo mismo que emparejar los sumandos $$(a+b)+c$$ Por eso es mucho más conveniente definirlo para dos sumandos.