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Ecuaciones funcionales con serie de Taylor

Estoy atascado en la ecuación funcional $$f(f(x))+f(x)=e^x$$ Alguien ha sugerido a mí en el pasado y que puedo utilizar la Serie de Taylor para resolver algunos de los más difíciles las ecuaciones funcionales, pero no estoy seguro de cómo utilizar que para solucionar esto. Ayuda?

Si la Serie de Taylor no es el camino a seguir para este funcional de la ecuación, puede alguien decirme qué método que debe utilizar?

En general, ¿alguien puede recomendar un par de métodos diferentes que sería bueno tener en mente cuando se trata con las ecuaciones funcionales como este en el cual iteración funcional está presente?

Gracias!

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Blair Gibson Puntos 16

No sé si hay una solución sencilla para la función, pero me puede mostrar cómo sería usar un Taylor expresión aquí.

En primer lugar, supongamos que hay un valor de $q$ lo cual es un punto fijo de la función f(x) $$ f(q)=q $$ Si llenamos esto en la relación que podemos encontrar: $$ f(f(q)) + f(q) = f(q) + q = 2 q = e^q $$ El valor numérico sería $q\approx0.693147$.

Puesto que estamos interesados en una función suave $f(x)$ sabemos que, en principio, podría hacer una expansión de Taylor en cualquier punto de $x$. Si utilizamos el punto fijo, tendríamos algo como:

$$ f(p+\delta) = q + \sum_{i=1}^\infty a_i \delta^i $$ con algunos de ellos todavía desconocidos coeficientes de $a_i$. Habiendo asumido una función suave $f(x)$ hay al menos un pequeño rango de valores de $\delta$ donde la serie converge.

Ahora podemos insertar esta expansión en la relación que tenemos y el trabajo de todos los términos hasta un poco de orden ${\cal O}(\delta^n)$ y el grupo de términos con el mismo poder de $\delta$. Los primeros términos es :

$$ 2 p + \left(a_1 + a_1^2\right) \delta + \left(a_2 + a_1 a_2 + a_1^2 a_2\right) \delta^2 + \dots = e^{q+\delta} = e^q + e^q \delta + e^q \frac{\delta^2}{2} + \dots $$ y, ya que para cualquier pequeño $\delta$ esta debe ser la misma en ambos lados tenemos un montón de ecuaciones en las incógnitas $a_i$. El orden más bajo es $$ 2 q = e^q, $$ que ya asumidos. El siguiente es $$ a_1 + a_1^2 = e^q = 2q $$ a partir de la cual nos encontramos $$ a_1 = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8 p}}{2} $$ El signo no es demasiado importante, y sólo determina si elegimos $x$ ir a la izquierda o a la derecha. La siguiente ecuación se obtiene $$ a_2 + a_1 a_2 + a_1^2 a_2 = \frac{1}{2} e^q = 2 q $$ Ahora podemos insertar la solución obtenida para $a_1$ (o combinar las ecuaciones) y determinar que $$ a_2 = \frac{q}{1 + 2 p} $$ Este procedimiento puede ser continuado arbitrariamente lejos y en este problema en particular(!) la primera ecuación que encuentro para $a_k$ es siempre lineal y fácil de resolver.

Por desgracia, pasando de un "determinado" de la función en términos de un local para la expansión de Taylor para un cerrado de expresión, en general, no es tan fácil.

Una estrategia típica para resolver este tipo de problemas sería empezar a buscar puntos fijos o simetrías que pueden ser explotados.

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