¿$\lim_{n \to \infty}a_n^{1/n} = 1$ Implica$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_n} = 1$?

Question

Supongamos que tengo un % de la secuencia $\{a_n\}$de real positivo números tal que $\lim\limits_{n \to \infty}a_n^{1/n} = 1$. ¿Es cierto que $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_n} = 1$ o depende de la secuencia que una elija?

Answer 1

Aquí un sencillo contraejemplo: que $a_n=1$ si es $n$ y $a_n=2$ si $n$ es impar. Claramente $\lim\limits_{n \mapsto \infty}a_n^{\frac{1}{n}} = 1,$ y $a_{n+1}/a_n$ oscila entre $2$y $1/2,$, es decir, no converge.

Answer 2

No, eso es falso (Ver respuesta de Reiner Martin). Por otra parte, lo contrario es cierto por Teorema de Stolz-Cesaro: si $a_{n+1}/a_n\to L$ y $$\lim_{n\to \infty}\ln(a_n^{1/n})=\lim_{n\to \infty}\frac{\ln(a_n)}{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{\ln(a_{n+1})-\ln(a_n)}{(n+1)-n}=\lim_{n\to \infty}\ln\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)=\ln(L)$ $ % es decir $a_n^{1/n}\to L$.

Answer 3

Que $r_n = \frac{a_{n + 1}}{a_n}$ y $s_n = a_n^{1/n}$. Entonces la regla es

$$ \liminf r_n \le \liminf s_n \le \limsup s_n \le \limsup r_n. $$

Así que si existen ambos límites entonces son iguales pero podría existir $\lim s_n$ $\lim r_n$ puede que no.

Answer 4

Incluso si uno existe, el otro no. Tenga en cuenta: $a_n=\frac{3+(-1)^n}{2^{n}}$ $$\lim_\limits{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{2}.$ $$$\lim_\limits{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\begin{cases} 1, n =\ odd \\ \frac{1}{4}, n= \ even \end{cases}.$ $