Dos enfoques; el primero es esencialmente el mismo que el de Rahul, pero un poco más ordenado (en mi opinión).
Sin pérdida de generalidad, podemos reducir los radios de las tres esferas hasta el más pequeño se convierte en cero. Esto no va a cambiar el equidistantes locus. También, podemos asumir que el cero-radio de la esfera, $S_0$, se encuentra en el origen. Llamar a los otros dos esferas $S_p$ (con centro en $\mathbf{p}$ y radio de $a$) y $S_q$ (con centro en $\mathbf{q}$ y radio de $b$).
En puntos de $\mathbf{x}$ que equidistan de a$S_0$$S_p$, tenemos
$$
\|\mathbf{x}\| = \|\mathbf{x} - \mathbf{p}\| -
$$
Después de algunos álgebra, esto nos da
$$
2a\|\mathbf{x}\| = 2 \mathbf{p} \cdot \mathbf{x} - \|\mathbf{p}\|^2 + a^2
$$
Asimismo, los puntos que equidistan de a $S_0$ $S_q$ satisfacer
$$
2b\|\mathbf{x}\| = 2 \mathbf{q} \cdot \mathbf{x} - \|\mathbf{q}\|^2 + b^2
$$
La eliminación de $\|\mathbf{x}\|$ a partir de estas dos últimas ecuaciones obtenemos
$$
( 2 \mathbf{q} \cdot \mathbf{x} - \|\mathbf{q}\|^2 + b^2 ) =
b( 2 \mathbf{p} \cdot \mathbf{x} - \|\mathbf{p}\|^2 + a^2 )
$$
y re-organización da
$$
2\mathbf{x} \cdot (\mathbf{q} - b\mathbf{p}) =
un\|\mathbf{q}\|^2 - b\|\mathbf{p}\|^2 +a^2b - ab^2
$$
Esta es la ecuación de un plano cuya normal es en la dirección $a\mathbf{q} - b\mathbf{p}$.
Un Enfoque Diferente
El lugar geométrico es el camino de la esfera (de diferente radio) que se está moviendo para que se mantenga la tangente a las tres esferas. La envolvente de un movimiento de la esfera es una Dupin cyclide. La línea central de una Dupin cyclide es una cónica. Los detalles en este informe.
