¿Qué es un simple (o no) forma de encontrar las longitudes de las diagonales de este rombo?

Question

Recientemente me enseñó a un grupo de la geometría de los estudiantes acerca de las propiedades de los rombos, y les dio un conjunto de tareas ejercicios creado por un ex instructor, que incluye el siguiente problema.

Si un rombo tiene lados de longitud $25$ mm y un $45^{\circ}$ ángulo, determinar las longitudes de las diagonales.

Aquí está una imagen de referencia.

En última instancia, que eliminan este problema porque no he encontrado una solución simple en una escuela de alto nivel de geometría (es decir, álgebra, no trigonométricas). He resuelto el problema de dos maneras, que voy a publicar como una respuesta, de una forma simple trigonometría y la otra fue geométricas pero sucio (se tenía que resolver un sistema de ecuaciones no lineales y un cuarto de grado del polinomio).

Tengo curiosidad por ver si alguien puede resolver este problema de una manera diferente. Me gustaría saber si hay solución agradable que involucran sólo a la geometría, pero también estaría interesado en ver alguna novela enfoques alguien se le ocurre.

Answer 1

Se puede hacer con bastante franqueza con geometría de coordenadas.

Si colocamos el origen en el vértice izquierdo y el $x$-eje a lo largo del borde inferior, a continuación:

• La parte superior izquierda vértice está en $(25/\sqrt{2}, 25/\sqrt{2})$
• La parte superior-derecha vértice está en $(25 + 25/\sqrt{2}, 25/\sqrt{2})$
• La parte inferior-derecha vértice está en $(25, 0)$

El primero sigue porque nos memorizar la relación de lados de un 45-45-90 triángulo (es decir,$1:1:\sqrt{2}$), y el resto sólo por la traducción a la derecha.

Las longitudes de las dos diagonales puede entonces ser calculada con la fórmula de la distancia.

Esto puede ser convertido a un "sólo la geometría" a prueba de dibujo en un par de triángulos rectángulos.

Answer 2

Como he mencionado en la pregunta, aquí son las dos formas que he encontrado para resolver este problema.

Método 1: Trigonometría

Si nos basamos en las diagonales, obtenemos la siguiente imagen, y sabemos que cada diagonal biseca a la otra, así como los ángulos del rombo:

Eso significa que podemos decir \begin{align*} a &= 25\sin(22.5^{\circ})\text{ mm}\\ b &= 25\cos(22.5^{\circ})\text{ mm}, \end{align*}

lo que significa que las diagonales son \begin{align*} 2a &= 50\sin(22.5^{\circ})\text{ mm}\approx 19.13 \text{ mm}\\ 2b &= 50\cos(22.5^{\circ})\text{ mm} \approx 46.19 \text{ mm}. \end{align*}

Método 2: (Sucio) De La Geometría

Aquí empecé a dibujar una línea perpendicular a la parte superior de conectar el ángulo inferior derecho. Desde el ángulo superior derecho es $45^{\circ}$ sabemos que esta línea hace un $45^{\circ}$ ángulo así, lo que significa que se tiene un triángulo isósceles:

Por el Teorema de Pitágoras, sabemos que

$$2x^{2} = 25^{2} \implies x = \frac{25}{\sqrt{2}} \text{ mm}.$ $ , Por tanto, el área del rombo es dada por

$$\text{Area} = 25 \text{ mm } \times \frac{25}{\sqrt{2}} \text{ mm} = \frac{25^{2}}{\sqrt{2}} \text{ mm}^{2}.$$

Por otra parte, volviendo a la las variables introducidas en la primera imagen, podemos decir que

$$a^{2} + b^{2} = 25^{2} \quad \text{and} \quad 4\times \frac{1}{2}ab = \frac{25^{2}}{\sqrt{2}}.$$

La solución para $a$ en la segunda ecuación rendimientos

$$ a = \frac{25^{2}}{2b\sqrt{2}},$$

que cuando se sustituye en la primera ecuación nos da

$$b^{2} + \frac{25^{4}}{8b^{2}} = 25^{2},$$

que al multiplicar por $b^{2}$ puede ser escrito como

$$b^{4} - 25^{2}b^{2} + \frac{25^{4}}{8} = 0.$$

Ahora, esta ecuación es cuadrática en $b^{2}$, por lo que podemos aplicar la fórmula cuadrática para obtener

$$b^{2} = \frac{25^{2}\pm\sqrt{25^{4} - \frac{25^{4}}{2}}}{2} = \frac{25^{2}\pm\sqrt{\frac{25^{4}}{2}}}{2} = \frac{25^{2}\pm\frac{25^{2}}{\sqrt{2}}}{2} = \frac{25^{2}}{2}\left(1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\right),$$

y por lo $$b = \frac{25\sqrt{2\pm\sqrt{2}}}{2} \approx 23.096, 9.567.$$

De nuevo sustituyendo a continuación, obtenemos

$$a = \frac{25^{2}}{2\left(\frac{25\sqrt{2\pm\sqrt{2}}}{2}\right)\sqrt{2}} = \frac{25}{\sqrt{4\pm 2\sqrt{2}}}\approx 9.567, 23.096.$$

Ya que hemos elegido $b$ a ser el más largo de la diagonal, entonces podemos decir

\begin{align*} 2a &= \frac{25}{\sqrt{4+ 2\sqrt{2}}}\text{ mm} \approx 19.13 \text{ mm}\\ 2b &= \frac{50\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\text{ mm} \approx 46.19 \text{ mm}. \end{align*}

Answer 3

Debido a que el rombo encuentran en el espacio euclidiano $\Bbb R^2$ podemos usar vectores:

Aquí claramente $\|u\|=\|v\|$$\alpha+\beta=\pi$. A continuación, supongamos que $v$ mentira en la $X$-eje, a continuación,$v=(\|v\|,0)$. Esto implica, por trigonometría, que $u=(\|v\|\cos\alpha,\|v\|\sin\alpha)$.

Y debido a que $\|r\|=\sqrt{r_1^2+r_2^2}$ para algunos vectores $r=(r_1,r_2)$ $\Bbb R^2$

$$\|u+v\|=\|v\| \sqrt{(1+\cos\alpha)^2+(\sin\alpha)^2}=\|v\|\sqrt{2+2\cos\alpha}$$

$$\|v-u\|=\|v\|\sqrt{(1-\cos\alpha)^2+(\sin\alpha)^2}=\|v\|\sqrt{2-2\cos\alpha}$$

En nuestro caso $\|v\|=25\rm mm.$$\alpha=\pi/4$.

P. S.: he aprendido básica euclidiana del espacio vectorial de manipulación en la escuela secundaria, al menos en los últimos años.

Answer 4

Sugerencia alternativa utilizando números complejos: establecer el origen del plano complejo en el vértice izquierdo $a=0$ del rombo y el eje real a lo largo de la parte inferior. Entonces el otro vértice sobre el eje real es $b=25\,$, y su vértice opuesto es dar por una rotación de $\pi/4$ en sentido antihorario alrededor del origen, por lo que es $d = b \cdot e^{i \pi / 4}=25(1+i)/\sqrt{2}\,$. Las longitudes de las diagonales son $|b-d|$ y $|b+d|\,$, que el problema se reduce a un cálculo rutinario en números complejos.

Answer 5

Respuesta usando la geometría: $$d = 25 \sqrt{2-\sqrt{2}},$$ $$D = 25 \sqrt{2+\sqrt{2}}.$$

Sólo tenemos que utilizar el Teorema de Pitágoras para algunos rectángulo, como podemos ver en el siguiente diagrama: Diagrama 1

Tenemos $ l = \frac{25}{\sqrt{2}}$, triángulo (CDE), y una de las más grandes del triángulo (AEC): $$ D^2 = l^2 + (l+25)^2.$$

Diagrama 2

Para el menor de diagonal $d$, es similar, pero en lugar de: $$d^2 =l^2 +(25-l)^2,$$ de triángulo (BDE).

Para que podamos encontrarlo más fácilmente!