No hay ningún ejemplo. Supongamos $\sum a_n, \sum b_n$ cada uno tiene reordenamientos que converge condicionalmente. Entonces no es una permutación $\sigma :\mathbb N\to \mathbb N$ tanto $\sum a_{\sigma(n)}, \sum b_{\sigma(n)}$ divergen.
Prueba: Vamos a $A^+ = \{n: a_n\ge 0\}, A^-\{n: a_n< 0\},$ $B^+ = \{n: b_n\ge 0\}, B^-\{n: b_n< 0\}.$ Recordemos que
$$\sum_{n\in A^+}a_n = \infty,\, \sum_{n\in B^+}b_n = \infty\,\, $$
$$\sum_{n\in A^-}a_n = -\infty,\, \sum_{n\in B^-}b_n = -\infty.$$
Queremos pensar de los conjuntos de $A^+, A^-,$ $B^+, B^-$ en su orden natural. Voy a ser inductivo a la elección de subconjuntos finitos de estos conjuntos. En cada paso voy a ser la elección de un segmento inicial, en fin, de lo que queda de $A^+, A^-,$ $B^+, B^-$ a medida que nos movemos a lo largo. Para garantizar una permutación surge de estas opciones.
Elija $A_1 \subset A^+$ tal que $\sum_{n\in A_1}a_n > 1.$, a Continuación, elija $B_1 \subset B^+\setminus A_1$ tal que $\sum_{n\in B_1}b_n > 1.$ el Próximo elija $A_2\subset A^- \setminus (A_1\cup B_1)$ tal que $\sum_{n\in A_2}a_n < -1.$ Y, a continuación, $B_2\subset B^- \setminus (A_1\cup B_1\cup A_2)$ tal que $\sum_{n\in B_2}b_n < -1.$
Continuamos la elección de los conjuntos de $A_k,B_k$ de esta manera. Por extraño $k,$ $\sum_{n\in A_k} a_n$ es una suma positiva, incluso para $k$ es de suma negativa. Mismo para el $b_n$'s. No sabemos nada acerca de las sumas $\sum_{n\in B_k} a_n, \sum_{n\in A_k} b_n ,$ pero no tenemos.
Ahora los conjuntos de $A_1,B_1, A_2, B_2, \dots$ definir una permutación $\sigma$ $\mathbb N.$ Se sigue que, tanto en $\sum a_{\sigma(n)}, \sum b_{\sigma(n)}$ divergen. Por qué? Porque ni la suma es de Cauchy. No importa lo lejos que vaya en estas sumas, usted encontrará finito de cadenas de $A_k,B_k$ más allá de ese punto tal que $ \sum_{n\in A_k} a_n >1, \sum_{n\in B_k} b_n >1.$ Que viola el criterio de Cauchy.
