¿Fracción continua de raíz 8---un enfoque más simple?

Question

Parece ser un problema del Examen Putnam. El problema pide que encuentre el valor exacto de $$x=\sqrt[8]{2207-\cfrac{1}{2207-\cfrac{1}{2207-\cfrac{1}{2207-\cfrac{1}{\ddots}}}}}$$ Y se expresa como $\dfrac{a+b\sqrt{c}}{d}$, en términos de algunos enteros $a,b,c,d$.

Mi enfoque

He intentado tratarlo como normal fracciones continuas. Se asume por la pregunta que es positivo y real (por la pregunta, $x\in\mathbb Q(\sqrt c)$ para algunos entero $c$), es sencillo: $$ x=\sqrt[8]{2207-\frac1{x^8}} $$$$ x^{16}-2207x^8+1=0 $$$$ x^8=\frac{2207\pm\sqrt{2207^2-4}}{2} $$ Deje $x^4=\sqrt \alpha\pm\sqrt \beta$, como $$\alpha+\beta=\frac{2207}{2}$$ $$4\alpha\beta=\sqrt{\frac{2207^2-4}{4}}$$ Resolver y rechazar el uso inadecuado (como $x^4$ es positivo por nuestra suposición) solución para conseguir $$x^4=\sqrt{\frac{2207}{4}+\frac12}\pm\sqrt{\frac{2207}{4}-\frac12}$$ $$=\frac{47}{2}\pm\sqrt{\frac{2205}{4}}$$ Y deje $x^2=\sqrt{\gamma}\pm\sqrt{\delta}$, utilizando el mismo enfoque para obtener $$x^2=\frac72\pm\sqrt{\frac{45}{4}}$$ Y por lo tanto $$x=\frac{3\pm\sqrt 5}{2}$$ Pero como $$x=\frac{3-\sqrt 5}{2}\lt\frac12\lt 1$$ Cuando tomamos la fracción a la segunda evolución, una falacia ocurrido. Por lo tanto,

$$x=\frac{3+\sqrt 5}{2}$$ Me pregunto si mi enfoque es válido. También, este método parece ser un poco tedioso, hay vida más fácil?

Gracias de antemano.

Answer 1

Deje $x=a- \frac{1}{x}$ ; esto satisface $x^2-ax+1=0$ ... & $x^2$ satisface \begin{eqnarray*} (x^2+1)^2=(ax)^2 \\ (\color{blue}{x^2})^2-(a^2-2)\color{blue}{x^2}+1=0 \end{eqnarray*} De modo que "la raíz cuadrada de un continuo fracción" tenemos que resolver $a^2-2=b$ ... octavo de la raíz así que tenemos que hacer esto tres veces \begin{eqnarray*} a^2-2 &=&2207 \; \; \; &a&=&47 \\ b^2-2 &=&47 \; \; \; &b&=&7 \\ c^2-2 &=&7 \; \; \; &c&=&3 \\ \end{eqnarray*} Así que tenemos $\color{red}{x=\frac{3 +\sqrt{5}}{2}}$. (Justificar por qué el positivo de la raíz ha sido elegido ... ?)

EDIT : a menudo Hay una ambigüedad dado por exactamente cómo definimos la convergents de forma continuada, una fracción ... ver Continuó fracción falacia: $1=2$

Answer 2

Ampliando el comentario un poco.

Podemos factor de $$ \begin{aligned} 2207^2-4&=(2207-2)(2207+2)\\ &=2205\cdot2209\\ &=5\cdot441\cdot47^2\\ &=5\cdot21^2\cdot47^2. \end{aligned} $$ Por lo tanto, su ecuación implica que $x^8$ es uno de $$ t_1=\frac{2207+ 987\sqrt5}2\qquad\text{o}\qquad t_2=\frac{2207-987\sqrt5}2. $$ Esos son los números enteros del campo $\Bbb{Q}(\sqrt5)$. Debido a $t_1t_2=1$ (el término constante de la ecuación cuadrática $T^2-2207T+1=0$), son inversers de cada uno de los otros y, por tanto, de unidades del anillo $\mathcal{O}=\Bbb{Z}[(1+\sqrt5)/2]$.

Desde los conceptos básicos de la teoría algebraica de números (o de la teoría de ecuaciones de Pell) sabemos que $t_1$ es una potencia de la unidad fundamental de la $u=(1+\sqrt5)/2$ de el anillo de $\mathcal{O}$.

La pieza de información, $x=(a+b\sqrt c)/d$, para algunos enteros $a,b,c,d$, implica que el $x$ es un elemento del campo $\Bbb{Q}(\sqrt c)$. Ya hemos visto que $x^8$ es un elemento de $\Bbb{Q}(\sqrt5)$. Así que a menos $c=5$ $x$ es una octava potencia en $\mathcal{O}$, nuestros resultados implican que el polinomio mínimo de a $x$ grado $>2$. Por lo tanto, está implícito que, por casualidad, $t_1$ es un niño de ocho poder en $\mathcal{O}$.

A continuación, podemos hacer un poco de pruebas para ver que $$ u^{16}=t_1. $$ Por lo tanto,$x=\pm u^{-2}$, y parece que sabes cómo eliminar el mal alternativas.

Con menos teoría sólo puede repetidamente denest $\root{8}\of t_1=\sqrt{\sqrt{\sqrt{t_1}}}$. Este es, de nuevo, por suerte (=lectura de problema de diseño). Bill Dubuque ha explicado un método general para el almacenaje de las raíces cuadradas, y usted puede solicitar que tres veces aquí (en un sentido que ya lo hizo).