Álgebra lineal: Si el campo ' t característica cero, entonces ¿qué cambiaría? es decir ¿cuál es la importancia de este hecho en el tema?

Question

En el libro de Álgebra Lineal por Werner Greub, siempre podemos elegir un campo para nuestros espacios vectoriales, siempre elegimos un campo arbitrario $F$ de característica cero, pero para entender la importancia de esta propiedad, me pregunto ¿qué podemos perder si el campo no fueron característicos de cero ?

Quiero decir, ahora mismo estoy en el medio del Capítulo 4, y hasta ahora hemos utilizado el hecho de que el campo es de característica cero una vez en una sola prueba, así como los principales teoremas y propiedades, si el campo no fueron de característica cero, lo que nos haría perder ?

Nota, estoy haciendo esta pregunta en particular para entender la importancia y el lugar de este hecho en el tema, así que si tienes alguna otra idea para transmitir esto, yo también estoy bien con eso.

Nota: como se trata de una pregunta general, es poco probable que una persona se encargará de cubrir todos los casos, así que no voy a aceptar ningún tipo de respuesta, de modo que siempre se puede publicar respuestas.

Answer 1

Muchos de los argumentos que el uso de la traza de una matriz no será verdad en general. Por ejemplo, una matriz de $A\in M_n(K)$ sobre un campo de característica cero es nilpotent, es decir, satisface $A^n=0$, si y sólo si $\operatorname{tr}(A^k)=0$ todos los $1\le k\le n$. Para los campos de la característica principal $p$ $p\mid n$ sin embargo, esta falla. Por ejemplo, la matriz identidad $A=I_n$ a continuación, responde a $\operatorname{tr}(A^k)=0$ todos los $1\le k\le n$, pero no es nilpotent.
La patología de álgebra lineal sobre los campos de la característica $2$ ha sido discutido ya aquí.

Answer 2

La equivalencia entre la forma bilineal simétrica y formas cuadráticas dadas por la identidad de polarización se desglosa en característica $2$.

Answer 3

Una diferencia importante (que no veo en otra respuesta) es que en los campos de la característica cero, no podemos tener una "norma" o "producto interno" lo podríamos $\Bbb R, \Bbb C,$ o incluso $\Bbb Q$. En particular: para hacer sentido de condiciones como \|\alpha x\ $$ | = | \alpha| \cdot \|x\|\\ \langle x x \rangle \geq 0 $$ es importante tener una noción de "números positivos" (es decir, debemos tener un subcampo ordenado) que nos falta para las características de distinto de cero.

Answer 4

Cuando se hace básicos de álgebra lineal, no hay ninguna ventaja real para la teoría en el supuesto de un campo de característica cero. (Ni, debo añadir, hay una real ventaja en el supuesto de conmutatividad: hasta haciendo autovalor problemas, trabajando a través de una división del anillo está perfectamente bien. De hecho, no suponiendo conmutatividad es un muy buen ejercicio de la disciplina mental, manteniendo escalares a un lado y las matrices para el otro).

Hay una ventaja práctica que en los ejemplos que uno puede escribir explícita escalares que, obviamente, son desiguales; sin ninguna suposición sobre la característica, cualquier entero con la excepción de $-1,1$ podría no ser distinto de cero, y el comienzo de los estudiantes puede ser sorprendido, por ejemplo, que $\frac{13}{16}=\frac9{14}$ cuando la característica es $19$.

Answer 5

Cuando se trata con interior de los productos, es necesario utilizar las desigualdades, así que tienes que trabajar con una orden de campo (en general $\Bbb R$). Por lo tanto cualquier cosa que se demuestra el uso interno de los productos no tiene que ser verdadero en un campo de característica positiva; por ejemplo, una matriz simétrica sobre un campo finito no es necesariamente diagonalisable. Por ejemplo, en un campo de característica $2$ la matriz $$\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$$ es nilpotent, pero no cero, y por lo tanto no es diagonalizable.

De hecho, su pregunta anterior es otro ejemplo (tal vez ese es el caso que usted menciona en su pregunta): no se mantienen en su carácter $2$, debido a que en las pruebas que necesita para dividir por $2$. Por ejemplo, la forma bilineal $$\phi :\Bbb F_2^2\times \Bbb F^2_2\to \Bbb F_2:((x_1,x_2),(y_1,y_2))\mapsto x_1y_1+x_2y_2$$ es sesgar-simétrica en el sentido de que $\phi(\vec{x},\vec{y})=\phi(\vec{y},\vec{x})=-\phi(\vec{y},\vec{x})$, pero $\phi((1,0),(1,0))\neq 0$.