Si $H$ y $G/H$ son compactos, entonces $G$ es compacto.

Question

Supongamos que $G$ es un grupo topológico y que $H$ es un subgrupo de $G$, de modo que $H$ $G/H$ son compactos. Estoy tratando de mostrar que $G$ debe ser compacto.

La primera idea es utilizar el natural mapa de $f: G \rightarrow G/H$, este es un cerrado mapa, ya que los $H$ es compacto. Por lo tanto si $\mathscr{C}$ es una colección de subconjuntos cerrados de $G$ finitos intersección de la propiedad (FIP), a continuación, $\{f(C): C \in \mathscr{C}\}$ una colección de subconjuntos cerrados de $G/H$. Esta colección también tiene FIP porque

$$f(C_1 \cap \ldots \cap C_n) \subseteq f(C_1) \cap \ldots \cap f(C_n)$$

por lo $\{f(C): C \in \mathscr{C}\}$ tiene intersección no vacía porque $G/H$ es compacto. De modo que existe algún coset $gH$ que se encuentra en todas las $f(C)$ $C \cap gH$ es no vacío. Mi siguiente idea sería mostrar que $\{C \cap gH: C \in \mathscr{C}\}$ es una colección de conjuntos cerrados en $gH$ con FIP. Esta colección, y por lo tanto $\mathscr{C}$ tiene intersección no vacía.

Sabemos que $C \cap gH$ es cerrado en $gH$, pero no sé cómo demostrar que tiene la FIP. Ahora mismo creo que incluso podría no ser cierto en general, ya que nuestra elección de $gH$ fue arbitraria. ¿Cómo puedo elegir el $gH$ en la intersección $\cap_{C \in \mathscr{C}} f(C)$, de modo que $\cap_{C \in \mathscr{C}} C \cap gH$ es no vacío? Hace esto una prueba de la idea de trabajo?

Answer 1

El cociente mapa de $f: G \rightarrow G/H$ es perfecto: es continua, cerrada (como $H$ es compacto, como usted dice) y tiene fibras compactas (inverso de imágenes de puntos son compactos); la segunda, es claro como todas las fibras son homeomórficos a $H$.

Y la imagen inversa de un conjunto compacto bajo un perfecto mapa es compacto. Y $G$ es la inversa de la imagen de $G/H$, que es compacto, por supuesto.

La prueba de esto último no es muy difícil (algunos detalles a la izquierda):

Supongamos $f: X \rightarrow Y$ es perfecto, y deje $K \subset Y$ ser compacto. Deje $U_i, i \in I$ ser una cubierta abierta de a $f^{-1}[K]$. Para cada una de las $k \in K$, podemos cubrir la $f^{-1}[\{k\}]$ por un número finito de la $U_i$, llamar a la unión de estos $U(k)$. A continuación, $O(k) = Y\setminus f[X \setminus U(k)]$ es una vecindad de a $k$ $Y$ (esto utiliza $f$ es un cerrado mapa), por lo que un número finito de ellos cubren $K$. El correspondiente $U(k)$, y por lo tanto el un número finito de $U_i$ que lo componen, son los necesarios finito subcover de $f^{-1}[K]$.

Otra idea es utilizar ese $G/H \times H$ también es compacto, y el producto (en grupo de producto), el mapa es probablemente (no lo he comprobado los datos) un mapa en $G$ a partir de este espacio. Este es tal vez más apropiado para un curso en grupos topológicos...