¿Si un elemento de un Grupo abeliano $g$ $G$ y $H\leqslant G$, allí debe existir un $n$ tal que $g^n\in H$?

Question

Que $G$ ser un Grupo abeliano y $H$ un subgrupo de $G$. ¿Cada $g \in G$, siempre existe un número entero $n$ tal que $g^{n} \in H$?

Answer 1

Si te refieres a: existe $n\geq 1$ que...

Tomar $G=\mathbb{Z}$ y $H=\{0\}$.

Si no, siempre lo $n=0$.

Answer 2

Esto es evidente eso si $[G:H]=n<\infty$ y $\forall g\in G, g^n\in H$.

Answer 3

Jajaja Let $G=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$, $H=\{(x,0)\}$. Entonces el $(0,1)^n\notin H$para cualquier $n>0$ %

Answer 4

Sugerencia: para $n\geq 1$: nos podemos encontrar un contraejemplo subgrupo $H\leq G$, $G =(\mathbb{Z}, +)$ que es infinito y cíclico: poner $H = \{e\} = \{0\} \leq G$.

Answer 5

Jajaja Que $G = \mathbb{Z}^2$. Que $H = <(1,0)>$. ¿Qué es $(0,1)^n$?