EDITAR: Después de mrf Tras el comentario del Sr. G. de la Torre y la discusión con el profesor del curso, se decidió que no era un problema. Es decir, entré en la lectura de esta conferencia con la idea de que íbamos a resolver el $\bar{\partial}$ ecuación que era nuestro principal objetivo. En otras palabras, en la parte inferior estábamos principalmente $f$ centrado y no $\phi$ centrado. En realidad, es al revés. Se suponía que debíamos saber que el $\bar{\partial}$ ecuación siempre tiene soluciones distributivas y que, de hecho, estábamos realmente interesados en encontrar soluciones a $\bar{\partial}u=f$ con $u$ habiendo controlado $\|\cdot\|_\phi$ norma.
Sin embargo, esto plantea dos preguntas que me encantaría que alguien pudiera responder:
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Este es el caso unidimensional del Teorema de Hormander. Puede alguien intuir por qué como geómetra algebraico/diferencial tener el teorema de Hormander es algo tan grande (como se hace ver).
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mrf dice que los siguientes teoremas muestran realmente que $\bar{\partial}u=f$ es siempre solucionable para cualquier $f$ ya que siempre podemos encontrar (dado un $f$ ) a $C^2(\Omega,\mathbb{R})$ función subarmónica $\phi$ para lo cual $\displaystyle \int_\Omega\frac{|f|^2}{\Delta\phi}e^{-\phi}$ es finito (necesitamos la finitud para demostrar que existe una solución). ¿Hay alguna manera fácil de ver por qué tal función $\phi$ siempre existe para un determinado $f$ ?
Gracias.
Actualmente estoy leyendo los apuntes de clase de Park City sobre Geometría Analítica y Algebraica ( este libro) y estoy realmente confundido por algunas suposiciones implícitas hechas en la primera conferencia del primer minicurso (conferencia 1 de "An Introduction to Things" de Bo Berndtsson $\overline{\partial}$ ").
Permítanme explicar algunos de los antecedentes del problema que estoy teniendo. Permita que $\phi\in C^2(\Omega,\mathbb{R})$ ser subarmónico y definir el producto interior:
$$\langle f,g\rangle_\phi=\int_\Omega f\bar{g}e^{-\phi}$$
y la norma $\|\alpha\|_\phi^2=\langle \alpha,\alpha\rangle_\phi$ . A continuación, definimos $\bar{\partial}^\ast_\phi$ para ser el adjunto de $\bar{\phi}$ con respecto a $\langle,\rangle_\phi$ . Explícitamente se puede demostrar que
$$\bar{\partial}^\ast_\phi\alpha=-e^{\phi}\frac{\partial}{\partial z}\left(e^{-\phi}\alpha\right)$$
Por lo tanto, ahora estamos tratando de seguir la prueba del Teorema 1.1.3 en el libro que se establece como sigue:
Teorema 1.1.3 Dejemos que $\Omega\subseteq\mathbb{C}$ sea un dominio y supongamos que $\phi\in C^2(\Omega,\mathbb{R})$ que es subarmónico. Entonces, para cualquier $f\in L^2_{\text{loc}}(\Omega)$ hay una solución distributiva $u$ a $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \bar{z}}=f$ con sujeción a $$\int_\Omega |u|^2 e^{-\phi}\leqslant \int_\Omega \frac{|f|^2}{\Delta \phi}e^{-\phi}$$
El autor afirma que el teorema se deduce de las tres proposiciones siguientes:
Propuesta 1.1.1 Dado $f$ existe una solución distributiva para $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial\bar{z}}$ Satisfaciendo a $$\|u\|_\phi^2\leqslant C\quad \mathbf{(1.3)}$$ para algunos $C>0$ si y sólo si la estimación $$\left\langle f,\alpha\right\rangle_\phi \leqslant C\|\bar{\partial}^\ast_\phi \alpha\|_\phi\quad\mathbf{(1.4)}$$ es válida para cada $\alpha\in C^2_c(\Omega)$ .
,
Proposición 1.1.1(cont.) Para cualquier $\mu:\Omega\to\mathbb{R}^+$ $\mathbf{(1.4)}$ es válida para todos los $f$ Satisfaciendo a $$\int_\Omega \frac{|f|^2}{\mu}e^{-\phi}\, dz\leqslant C\quad\mathbf{(1.5)}$$ si y sólo si $$\int_\Omega \mu|\alpha|^2 e^{-\phi}\, dz\leqslant \|\bar{\partial}^\ast_\phi\alpha\|\quad\mathbf{(1.6)}$$ es válida para todos los $\alpha\in C^2_c(\Omega)$ .
y,
Propuesta 1.1.2 Dejemos que $\Omega\subseteq\mathbb{C}$ sea un dominio $\phi\in C^2(\Omega,\mathbb{R})$ y $\alpha\in C_c^2(\Omega)$ . Entonces, $$\int_\Omega \Delta\phi|\alpha|^2 e^{-\phi}+\int_\Omega\left|\frac{\partial \alpha}{\partial\bar{z}}\right|^2 e^{-\phi}=\|\bar{\partial}^\ast_\phi\alpha\|\quad\mathbf{(1.7)}$$
Parece, por la facilidad con la que afirma que el Teorema 1.1.3 se deduce de estas tres proposiciones, que la respuesta fácil debería ser la correcta. La respuesta más fácil es que la Proposición 1.1.2 muestra que (1.6) se cumple para $\mu=\Delta\phi$ . Así, la Proposición 1.1.1(cont.) implica que para cada $f$ que satisface (1.5) tenemos que $f$ satisface (1.4) para todo $\alpha$ y así tenemos una solución distributiva para $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial\bar{z}}u=f$ que satisface (1.3).
De acuerdo, todo parece estar bien, todo esto pasa correctamente para demostrar el Teorema 1.1.3 si, dado $f\in L^2_{\text{loc}}(\Omega)$ Podríamos tomar
$$C=\int_\Omega \frac{|f|^2}{\Delta\phi}e^{-\phi}$$
La única cuestión es que para aplicar la prueba de la Proposición 1.1.1 aplicamos Riesz-Fischer a un determinado operador $L$ cuya acotación se deduce porque obtenemos un límite $\|L\|_\text{op}\leqslant C$ . Así, todo se rompe si $C$ es infinito. Entonces, todo esto parece sugerir fuertemente que la integral
$$\int_\Omega\frac{|f|^2}{\Delta\phi}e^{-\phi}$$
es finito para cada $f\in L^2_\text{loc}(\Omega)$ y cada subarmónico $\phi\in C^2(\Omega,\mathbb{R})$ . Pero, estoy bastante seguro de que esto no es cierto (sólo toma $\Omega=\mathbb{C}$ , $\phi=x^2+y^2$ y $f=\exp(2(x^2+y^2))$ ). Incluso si exigimos que $f\in L^2_{\text{loc}}(\Omega)$ y $fe^{\frac{-\phi}{2}}\in L^2(\Omega)$ (que puede ser una posible errata) sigue habiendo dudas de que esta integral converja siempre.
Si alguien pudiera aportar alguna idea sobre lo que me estoy perdiendo/lo que el autor puede haber querido decir, se lo agradecería enormemente.
