Consecuencia de Bertrand ' postulado de s

Question

He leído que el siguiente pueda ser probado mediante el postulado de Bertrand (siempre hay un primer entre $n$y $2n$): $\forall N\in\mathbb N$, existe un entero incluso $k>0$ que hay por lo menos $N$pares prime $p$, $p+k$.

Pero no tengo idea cómo demostrarlo. Cualquier ayuda sería mucho apreció.

Muchas gracias.

Answer 1

Usted no necesita Bertrand Postulado para demostrarlo, basta con el teorema de Euler sobre la divergencia de las $\sum \frac{1}{p}$. El argumento es como sigue:

Para algunos entero $n$, considere la posibilidad de la $n-2$ diferencias $p_{i+1}-p_i$$i=2,3,\dots, n-1$, si se toman en la mayoría de los $$ T_n = \left\lfloor\frac{n-2}{N}\right\rfloor $$ valores diferentes, entonces hay al menos una toma de $N$ veces y hemos terminado.

Supongamos lo contrario, que para cada $n$ hay más de $T_n$ diferentes valores en el conjunto $\{ p_{i+1}-p_i\,\,; i=2,3,\dots,n\}$ $$ p_n - p_2 = \sum_{i=2}^{n-1} p_{i+1}-p_i \ge 2+4+6+\dots+2T_n+2(T_n+1) = (T_n+1)(T_n+2) $$ pero $$ (T_n+1)(T_n+2) \ge \frac{(n-2)^2}{N^2}$$ Así $$ \frac{1}{p_n} \le \frac{N^2}{(n-2)^2 + 3N^2} $$ si fijamos $N$ y la suma de $n=N,N+1,\dots,M $ tenemos $$\sum_{i\le M} \frac{1}{p_i} \le -\sum_{i\le N} \frac{1}{p_i} + N^2 \sum_{N\le n \le N} \frac{1}{(n-2)^2 + 3N^2} $$ Pero el lado derecho es limitado y por el teorema de Euler de la mano derecha no es así, por $n$ lo suficientemente grande como llegamos a una contradicción.

Tenga en cuenta que esto demuestra algo más fuerte: por cada $N$ no es un número entero $k$ ejemplo de que hay más de $N$ números primos consecutivos con diferencia $k$.

He leído este argumento en algún viejo tema de la Americana de Matemáticas Mensual (en 1985 o antes), lo siento no te puedo dar una referencia.

Answer 2

No es una consecuencia directa del postulado. En efecto, consideremos el conjunto $P = \{ 2^k : k \geq 0\}$. Este conjunto también satisface el postulado de Bertrand, pero el % de diferencias $2^a - 2^b$son únicos.