Que $x,y \in \mathbb{Z}$ tal que: $$\frac{x^2+y^3}{xy-1} \in \mathbb{Z}$$ Find $x, $ y
No tengo alguna idea sobre este problema.
Respuestas
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[Me di cuenta de que sólo estaba buscando la solución positiva de aquí. Usted puede tomar este enfoque para encontrar valores negativos, también.]
Un inicio de un enfoque.
Si $D=xy-1$ $xy\equiv 1\pmod D$ necesidad $x^2\equiv -y^3\pmod {D},$ así:
$$x^5=x^3\cdot x^2\equiv -(xy)^3\equiv -1\pmod{D}.$$ Obviously, $x\no\equiv -1\pmod{xy-1}$ except for $y=1$ or $x=1$ an $y=2,3.$ so for $x>3,$ $-1$ must have a no trivial fifth root module $D$, which means $D$ must have a prime divisor $p\equiv 1\pmod 5$.
Básicamente:
$$\frac{x^5+1}{xy-1} =\frac{x^3(x^2+y^3)-(x^3y^3-1)}{xy-1}=x^3\frac{x^2+y^3}{xy-1}+(x^2y^2+xy+1)$$
Esto muestra que hay un límite en $y$, determinado $x$ - específicamente, $xy-1\leq x^5+1$ o $y\leq x^4+\frac{2}{x}$.
Desde $x$ $xy-1$ son relativamente primos, tenemos que $\frac{x^5+1}{xy-1}$ es un número entero si y sólo si $\frac{x^2+y^3}{xy-1}$ es un número entero.
Del mismo modo, $\frac{y^5+1}{xy-1}$ es un número entero si y sólo si $\frac{x^2+y^3}{xy-1}$ es un número entero, porque:
$$\frac{y^5+1}{xy-1} = \frac{y^2(x^2+y^3)-(x^2y^2-1)}{xy-1}=y^2\frac{x^2+y^3}{xy-1} - (xy+1)$$
Esto muestra la si $(x,y)$ es una solución, entonces se $(y,x)$ es una solución, que no es obvio a partir de la declaración inicial.
Por tanto, y dado $x$, tenemos que encontrar una $y$, de modo que $x^{5}+1$ es divisible por $xy-1$. Por ejemplo, $x=2$$y=1,2,6, 17$.
Dado $x=3$, $x^{5}+1=244=2\cdot{122}$. Por lo $(x,y)=(3,1)$ o $(x,y)=(3,41)$.
Comprobación $x=4$ da $x^5+1=1025=25\cdot 41$. No hay un factor $\equiv -1\pmod 4$.
La comprobación de $x=5$, $x^5+1=2\cdot 3\cdot 521$ no tiene factor de $\equiv -1\pmod{5}$.
$6^5+1=7\cdot 11\cdot 101$, lo $xy-1=11,77,101,707$$y=2,13,17,118$.
Yo no estoy viendo un patrón, aparte del hecho de que parece como si $(x,y)=(a,b)$ es una solución, entonces se $(x,y)=(b,a)$ es una solución.
Si $(x,y)$ es una solución, entonces vamos a $M=\frac{y^5+1}{xy-1}$. A continuación,$M\equiv -1\pmod{y}$, por lo tanto, dejar $$(x',y')=\left(y,\frac{M+1}{y}\right)=\left(y,\frac{y^4+x}{xy-1}\right)$$ da otra solución.
Esto nos da una manera de crear cadenas:
$$(1,2),(2,17),(17,2531),\dots$$ o: $$(2,1),(1,3),(3,41),(41,23162),\dots$$ o: $$(2,2),(2,6),(6,118),(118,274226),\dots$$
En particular, es claro que esto de los rendimientos de un conjunto infinito de soluciones.
Si usted comienza con las soluciones donde $x=2$ y permitir las transformaciones:
$$\begin{align}(x,y)&\to (y,x)\\ (x,y)&\to \left(x,\frac{x^4+y}{xy-1}\right) \end{align}$$
Hace esto para dar todas las soluciones? Parece que miss $(x,y)=(6,13)$$(x,y)=(6,17)$.
Buscando las soluciones negativas, podemos ver que $x=-1$ permite que cualquier $y$.
$x=-2$ $-2y-1$ debe ser un factor de $31$ o $y=15,-16$.
De $(0,y)$, una solución, se aplica la transformación de arriba para obtener $(y,-y^4)$, y, a continuación, $\left(-y^4,-(y+y^6+y^{10})\right)$...
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Set $(x\rightarrow y, y\rightarrow -x).$ Decir $\frac{y^2-x^3}{-xy-1}=t.$, Entonces usted tiene la paramétrico de la familia de curvas elípticas $y^2+txy=x^3-t.$ Por ejemplo, si establece $t=80$ obtener el $(-79, -1),(-120843, -1289),(17723, -1289). $ Esto da (usando la notación original) la solución $x=17723,y=-1289.$ Así que usted puede encontrar toda la $(x,y)$ si arreglar la relación. Aquí están algunas soluciones (para varios $t$) $(xy\not =0,\ y\not = -1)$ después de que la anterior
(27, -10),(305, -52),(3, 1),(611, -86),(29, -16),(4, -6),(2, 2),(6, 2),
(259, -57), (700, -102),(17, 2),(660, -51),(15, -2),(2239, -141),(23, -4),
(143, -19),(138, -20),(7, -3),(46, 17),(107, 17),(1, 2),(17, 2),(14, -5),
(27, -8),(545, -64),(1359, -119), (-18881, -481),(5894, -481),(-20601, -516),
(6669, -516),(-417201030, -551613),(402307479, -551613),(6, 13),(371, 13),
(-2968, -93),(271, -93),(122, 46),(798, 46),(2, 6),(118, 6).
De curso $(x,y)$ son infinitamente muchos ( por ejemplo, tener $y=-1$) y no puedo ver ningún patrón para $(x,y)$ menos que logran expresar las soluciones de $E_t:y^2+txy=x^3-t,$ con respecto al $t.$ También si se establece $t=a^3$ luego de llegar la familia de puntos de $(x,y)=(a,-a^4).$
