¿valor mínimo de la $\int_0^1f(x)dx=1, \int_0^1xf(x)dx=\frac16$ $\int_0^1f^2(x) dx$?

Question

Que $f(x)\geq0$ ser una función integrable de Riemann, y

$$\int_0^1f(x)\,\mathrm dx=1, \int_0^1xf(x)\,\mathrm dx=\frac16.$$

Encontrar el valor mínimo de $\int_0^1f^2(x)\,\mathrm dx$

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¿Desigualdad de Cauchy-Schwarz? en, estoy en problemas para $f(x)\geq0$

Gracias

Answer 1

Podemos equipar el espacio de Riemann cuadrado integrable funciones en $[0,1]$ con el producto escalar usual. Ahora tenemos $$ \int_0^1(1-2x)f(x)dx=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} $$ Por lo tanto $$ \frac{2}{3}=\int_0^{1/2}(1-2x)f(x)dx+\underbrace{\int_{1/2}^1(1-2x)f(x)dx}_{\leq 0} $$ de ello se sigue que, si $g(x)=4(1-2x){\bf 1}_{[0,1/2]}$ $$ \frac{8}{3}\leq\int_0^{1}4(1-2x){\bf 1}_{[0,1/2]}f(x)dx=\langle f,g\rangle\etiqueta{1} $$ Por otro lado tenemos $$\eqalign{ \Vert g\Vert^2&=16\int_0^{1/2}(1-2x)^2dx=\frac{8}{3}\leq\langle f,g\rangle\cr} $$ Por lo $\langle f-g,g\rangle\geq0$, por lo tanto $$ \Vert f\Vert^2=\Vert f-g\Vert^2+\Vert g\Vert^2+2\langle f-g,g\rangle\geq \Vert f-g\Vert^2+\Vert g\Vert^2\etiqueta{2} $$ Pero $g$ es positivo y satisface $$\langle g,1\rangle =4\int_0^{1/2}(1-2x) dx=1,\quad \langle g,x\rangle =4\int_0^{1/2}x(1-2x) dx=\frac{1}{6} $$ Así, a partir de $(2)$ llegamos a la conclusión de que $\Vert f\Vert^2\geq\Vert g\Vert^2$ con igualdad si y sólo si $f=g$, y el mínimo deseado es $\Vert g\Vert^2=8/3$.

Acuse de recibo quiero reconocer aquí que esta solución, vino de Vladimir's de la observación, que se presenta en su respuesta.

Answer 2

Deje $f$ proporcionar el mínimo deseado. Si $g$ es continua, apoyada en $\{x:f(x)>0\}$, y satisface $\int g dx=\int xg dx=0$, $f+tg$ satisface las restricciones para las pequeñas $t$ y tenemos $\int (f+tg)^2dx\ge\int f^2 dx$ para cualquier $t$ $\implies$ $\int fg dx=0$. Esto es válido para cada continuas $g$ satisfacción $\int g dx=\int xg dx=0$ y apoyado en $\{x:f(x)>0\}$, y por lo tanto no existen constantes $a$ $b$ tal que $f(x)=a+bx$ en el conjunto de $K=\{x:f(x)>0\}$. Si pudiéramos de alguna manera demostrar que, para una óptima $f$, $K$ tiene que haber un intervalo de la forma $[0,x_0)$, entonces la respuesta es, probablemente, $f(x)=4-8x$ $x\in[0,1/2]$ $0$ después.