¿Dónde está el error en esta prueba sobre tener eventualmente periódicos expansiones decimales racionales?

Question

Yo sé que un número racional tiene una eventual decimal periódico expansión, y no necesariamente sólo de periódico. Entonces, ¿qué está mal con esta 'prueba' de que cualquier número racional tiene un decimal periódico expansión:

Supongamos $x\in \mathbb{Q}$, de modo que $x=\frac{p}{q}$ donde $p,q\in\mathbb{N}$, e decir $x$ tiene decimal de expansión $x=m.d_1d_2...$. Deje $[x]$ denotar la parte fraccionaria de $x$. Por lo $[x]=\frac{a}{q}$ donde $a\in\{1,2,...,q-1\}$. Luego, por el principio del palomar, $[10^rx]=\frac{a}{q}$ algunos $r\geq1$. Por lo tanto,$0.d_1d_2d_3...=0.d_{r+1}d_{r+2}d_{r+3}...$$x=m.\overline {d_1d_2...d_r}$.

Algo debe de estar mal aquí porque el resultado no es cierto, pero no sé qué.

Answer 1

Aquí es una cosa que siempre se puede hacer, pero que la gente no se parecen enseñar: si usted tiene una prueba de que usted es sospechoso de, usted puede ir a través de la prueba con un ejemplo. En algún momento, vas a escribir una declaración falsa sobre su ejemplo, y que es probablemente donde el error es.

(Por supuesto, usted no puede hacer esto si la prueba es una prueba por contradicción, porque, si la cosa que estamos tratando de demostrar que es verdadero, no hay ejemplos. Esta es una razón para evitar pruebas por contradicción.)

Tomemos un ejemplo muy sencillo, a saber,$x = \frac{1}{2} = 0.500 \dots$, cuya expansión decimal es claramente finalmente periódico, pero no periódica. $[x] = \frac{1}{2}$ nuevo. Pero $[10^r x] = 0$ todos los $r \ge 1$. Así que esto es donde el error es. (Como Hagen von Eitzen dice, lo que encasillar realmente le dirán es que no existe $0 \le r \neq s \le q$ tal que $[10^r x] = [10^s x]$. No garantiza que cualquiera de las $r$ o $s$ es igual a $0$, pero hay un segundo error: no se garantiza que esta parte fraccionaria será distinto de cero!)

Answer 2

"Entonces por el principio del casillero, $\{10^rx\}=\frac aq$" es un no sequitur. El principio dice que entre muchas palomas, dos deben estar en el mismo agujero, pero sí no estado thet dos pigoens debe ser en el primer agujero.

Answer 3

A verificar la prueba paso a paso en algún contraejemplo, decir $x=\tfrac 16$, y verás el defecto mismo:

no es cierto, que multiplicando $\tfrac 16$ por una potencia de $10$ hace $\left[10^r\,\cdot\,\tfrac 16 \right] = \left[\tfrac 16 \right]$,

porque el lado derecho es $0.1666... = \tfrac 16$ mientras LHS es $0.666... = \tfrac 23$ cada $r\in \Bbb N^+$.