En primer lugar creo que no he estado a mi pregunta con suficiente claridad: yo sé que las matemáticas detrás de los desplazamientos observables y sus autovalores, pero yo quería saber lo que sucede en un verdadero experimento físico. Quería saber si hay una conexión entre el autovalor $\lambda$ de un preparado eigenstate $\psi$ $C=A_1 \ldots A_n$ y los resultados individuales $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ de las mediciones de $A_1, \ldots, A_n$. La situación es clara si $\psi$ es un común autovector de a$A_1, \ldots, A_n$, pero no estaba claro para mí lo que pasa si $\psi$ NO es un vector propio.
Trimok la respuesta no respondió a mi pregunta directamente, pero su ejemplo me dio una idea importante que me ayudó a darme cuenta de esto.
Uno de mis ideas erróneas era la idea de que un eigenstate $|\psi\rangle$ $C=A_1 \ldots A_n$ no cambia durante una medición de $C$ debido a la relación matemática $C|\psi\rangle = \lambda |\psi\rangle$. Pero esto no es necesariamente cierto. Por ejemplo, el estado de $|00\rangle + |11\rangle$ cambios durante la medición de $\sigma_x \otimes \sigma_x$: cada observador aparecerá $|0\rangle$ o $|1\rangle$ por lo que el estado después de la medición se $|00\rangle$ o $|11\rangle$ aunque $|00\rangle + |11\rangle$ es un eigenstate de $\sigma_x \otimes \sigma_x$ al autovalor $+1$.
Creo que la conexión entre los distintos autovalores es como sigue. Deje $|\psi\rangle$ ser un eigenstate de $C = A_1 \ldots A_n$ al autovalor $\lambda$, pero no necesariamente tiene que ser un vector propio de las características observables $A_1, \ldots, A_n$. En general, $|\psi\rangle$ puede ser expresado como una combinación lineal de común vectores propios:
$$
|\psi\rangle =\sum_{\substack{\alpha_1, \ldots, \alpha_n \\ \alpha_1 \cdots \alpha_n=\lambda}} c_{\alpha_1, \ldots, \alpha_n} |\alpha_1, \ldots, \alpha_n\rangle,
$$
donde $|\alpha_1, \ldots, \alpha_n\rangle$ es un autovector de a $A_1$ al autovalor $\alpha_1$, etc. El producto de la $\alpha_i$ se $\lambda$, porque es una matemática abstracta resultado que el conjunto de valores propios de a $C$ tiene esta forma.
Ahora, ¿qué pasa si las características observables $A_1, \ldots, A_n$ se miden por separado (w.r.t. $|\psi\rangle)$? Cada medida hará que el subespacio donde la medida del estado vidas de los más pequeños: La medición de $A_1$ va a obligar al estado a $|\psi\rangle$ a a un cambio de estado $|\beta_1\rangle$ donde $\beta_1$ es un autovalor de a $A_1$. Pero todavía puede ser expresado como una combinación lineal de común vectores propios de a $A_2, \ldots, A_n$. A continuación, la medición de $A_2$ va a cambiar el estado en $|\beta_1, \beta_2\rangle$ y así sucesivamente. Después de la medición de $A_n$ nos quedamos con un común eigenstate $|\beta_1, \ldots, \beta_n\rangle$ $\beta_1 \cdots \beta_n = \lambda$ porque $|\psi\rangle$ fue originalmente una combinación lineal de autovectores comunes que satisfacen esta ecuación.
Así que la declaración "El producto de los resultados individuales es igual al autovalor $\lambda$ de la eigenstate $|\psi\rangle$ $C$" aún se mantiene en el caso de que, al $|\psi\rangle$ no es un vector propio. Esta intuitiva el resultado es ahora respaldado por un argumento correcto.
Sólo como una nota interesante: Cuando un observable $C$ es una composición de otros objetos, por ejemplo,$C=A\circ B$, esto no significa que uno tiene que medir el $B$$A$, consecutivamente, con el fin de medir $C$. $C$ puede representar una única medición. Por ejemplo, tomemos $A=\sigma_x \otimes \sigma_y$$B=\sigma_y \otimes \sigma_x$,$C = (\sigma_x \otimes \sigma_y) \circ (\sigma_y \otimes \sigma_x) = \sigma_z \otimes \sigma_z$. Por lo $C$ pueden representar diferentes montajes experimentales: una consecutivos de medición de $B$ $A$ o de una medida única de dos qubits a lo largo del eje z. (Soy nuevo aquí y no sé si esos comentarios son bien recibidos aquí o considerado como molesto. Me quite si alguien desea.)
