Resumen Algebra cojunto y Lagrange ' teorema s

Question

Supongamos que $H$ es un subgrupo de $S_4$ y contiene de que $H$ $(12)$ y $(234)$. Demostrar que $H = S_4$.

Desde $(234) \in H$ y $(12) \in H$, esto significa $(234)(12) \in H$ $(1342) \in H$, a las órdenes de los tres ciclos y el ciclo de cuatro es $|(1342)|=4$ y $|(234)|=3$ y muy bonito quedas atascados allí.

Answer 1

El orden de $H$ debe ser divisible por $3$ y $4$. Por lo que tiene de $H$ % orden $12$o $24$. Es el el único subgrupo de orden $S_4$ $12$ $A_4$ y $(12) \notin A_4$. Así que el orden de $H$ es $24$, que implica $H = S_4$.

Answer 2

Recuerde que si G es un grupo finito y H es un subgrupo de G, entonces el | H | divide | G. Por lo tanto, | H | divide 24. Ahora 3 / | H |, 4 / || H | y | H | 24 da bien | H | = 12 o | H | = 24. Tomar | H | = 12. Puesto que el único subgrupo de 12 en S4 es A4. Por lo tanto H = A4. Ahora, desde (1432)=(13)(14)(12), que es una permutación impar, contradice la declaración anterior. Por lo tanto, | H | = 24 y desde | S4 | = 24 H = S4.