diámetro de un espacio métrico compacto existe

Question

Un problema en mi libro de texto (Rosenlicht) es demostrar que el diámetro de un espacio métrico compacto $E$ existe, con la siguiente sugerencia: Comience con una secuencia de pares de puntos de $\{(p_n,q_n)\}_{n=1,2,3,\cdots}$ $E$ tal que $$\lim_{n\to\infty} d(p_n,q_n)=l.u.b \{d(p,q): p,q \in E\}$$ y pasar convergente subsecuencias.

No he explorado la sugerencia de mucho, porque estoy pensando en lo que parece un método más simple.

Desde $E$ compacto, $E\times E$ es compacto. Es sencillo demostrar que la función de distancia $d:E\times E \to \mathbb{R}$ es continua. Desde $E\times E$ es compacto, la imagen de $E \times E$ es compacto y por lo tanto alcanza un máximo en la imagen. No es éste el diámetro? Estoy solo cuidado con el uso de un método diferente a lo que el libro se recomienda.

Nota: El libro define el diámetro como $\text{max} \{d(p,q):p,q\in E\}$.

Answer 1

El método que el libro es lo que sugiere se basa en la de Bolzano-Weierstrass teorema : en un espacio compacto, de cada secuencia puede extraer convergente larga.

Aquí usted empezar por decir que si D es el diámetro del espacio, para todos los $n\ge0$, $D-\frac1n$ no es el límite superior de las distancias entre dos puntos de $E$, por lo que debe existir dos puntos de $p_n$ $q_n$ tal que $d(p_n,q_n)\ge D-\frac1n$.

La secuencia de $(p_n)$ está incluido en un diseño compacto, así que usted puede encontrar $\phi:\mathbb N^\ast\to\mathbb N^\ast$ estrictamente creciente tal que $(p_{\phi(n)})_n$ es convergente. Deje $p$ ser su límite.

Ahora la secuencia de $(q_{\phi(n)})_n$ está incluido en un diseño compacto, así que usted puede encontrar $\psi:\mathbb N^\ast\to\mathbb N^\ast$ estrictamente creciente tal que $(q_{\phi(\psi(n))})_n$ es convergente. Deje $q$ ser su límite.

Primera $(p_{\phi(\psi(n))})_n$ es larga de una secuencia convergente, por lo que converge con el mismo límite de $p$. Segundo, $$d(p_{\phi(\psi(n))}-q_{\phi(\psi(n))})\ge D-\frac{1}{\phi(\psi(n))}\ge D-\frac1n$$ Por la continuidad de la función de distancia, $d(p,q)\ge D$, lo $d(p,q)=D$, e $D$ es realizado.

Su argumento es correcto. Sólo se necesita el adicional teorema : $E$ compacto $\Longrightarrow$ $E\times E$ compacto.