¿Uniforme fronteridad en el espacio de Sobolev $W^{1,2}$ y convergencia en $L^p$ $(1 \leq p < 6)$ implica convergencia en $L^6$?

Question

Deje $B$ denotar al abrir la unidad de la bola en $\mathbb{R}^3$. Quiero que ya sea para probar o refutar que una secuencia de funciones de $u_m$ en el espacio de Sobolev $W^{1,2}(B)$ que es uniformemente acotada en el $W^{1,2}(B)$ norma y que es convergente en $L^p(B)$ todos los $1 \leq p < 6$ debe ser convergente en $L^6(B)$.

Puede alguien por favor me apunte en la dirección correcta?

Sé (cf. El capítulo 5 de Evans de la PDE libro) que el obligado $$ \| u \|_{L^q(U)} \leq C(k,p,n,U) \| r \|_{W^{k,p}(U)} $$ tiene al $U$ es un subconjunto de a $\mathbb{R}^n$ tener liso límite, $u \in W^{k,p}$, $k < \frac{n}{p}$, y $\frac{1}{q} = \frac{1}{p} - \frac{k}{n}$. La constante $C = C(k,p,n,U)$ es independiente de $u$.

Se desprende de esta obligado que el $u_m$ son uniformemente acotadas en $L^6(B)$.

Desde $W^{1,2}(B)$ es un Espacio de Hilbert, uniforme acotamiento de $u_m$ $W^{1,2}(B)$ implica también la existencia de una larga $u_{m_j}$ que converge débilmente en $W^{1,2}(B)$, por lo tanto débilmente en $L^6(B)$.

Gracias!

Answer 1

Como bonnnnn2010 ya señalado, $6$ es el exponente crítico donde no tienes que incrustar compacta de dimensión $H^1(B)=W^{1,2}(B)$ $d=3$. Este es un ejemplo de una secuencia limitada en $H^1(B)$ que es convergente en $L^p(B)$ $p<6$, pero que no subsequence convergente en $L^6(B)$: tomar cualquier $\varphi\ne0$ $H^1(\mathbb{R}^3)$. Entonces la secuencia $(\varphi_n)$ con $$ \varphi_n(x) = n^{1/2}\varphi(nx) $$ tiene las propiedades deseadas; de hecho, $\varphi_n\to0$ $L^p(B)$ $p<6$.

Answer 2

Porque es fundamental para la incorporación compacta de $L^6$ $H^1$ cuando $d=3$, por lo que no podemos esperar la convergencia en $L^6$, no estoy seguro si hay contraejemplo en el libro de Adams "Espacios de Sobolev".