La regularidad teorema de la PDE: $-\Delta u \in C(\overline{\Omega})$ implica $u\in C^1(\overline{\Omega})$?

Question

Me tropecé con esta cuestión en el contexto de la teoría de la PDE: Deje $U$ estar conectado,abiertos y acotados en $\mathbb{R}^n$ $u \in C^0(\overline{U}) \cap C^2(U)$ $\Delta u \in C^0(\overline{U})$ $u|_{\partial U} = \Delta u|_{\partial U} = 0.$ ¿esto implica que $u \in C^1(\overline{U})$?

Answer 1

Si $U$ es un almacén de dominio regulares de la frontera, entonces, un enfoque es el siguiente: Considere el problema

$$ \left\{ \begin{array}{rl} -\Delta u=f &\mbox{ in}\ U, \\ u=0 &\mbox{on } \partial U. \end{array} \right. $$

Una vez $f\in C(\overline{U})$, también tenemos que $f\in L^p(U)$ por cada $p\in [1,\infty)$. Esto implica en particular (ver 1 en el capítulo 9) que $u\in W_0^{2,p}(U)$ por cada $p\in [1,\infty)$.

Ahora tome $p$ lo suficientemente grande como para concluir que $W_0^{2,p}(U)$ es continuamente incrustado en $C^1(\overline{U})$.