Yo sólo quería practicar mis pruebas y mis comprensión de Isomorfo así que me decidí a probar el siguiente, si yo estoy equivocado, o la necesidad de un mejor argumento para algo, por favor siéntase libre de dejarme saber lo que puede corregirla para una mejor comprensión
Teorema: Vamos a $\phi$ ser un grupo de isomorfismo de $G$ a $G_1$
1) $\phi^{-1}$ es un isormophism de $G_1$ $G$
2) $G$ es abelian si y sólo si $G_1$ es abelian
3) $G$ es cíclico si y sólo si $G_1$ es cíclico
4)Si $K$ es un subgrupo de G, entonces $ \phi(K)$ es un subgrupo de $G_1$
Prueba(s) 1)Asumir $P:G\rightarrow G_1$. $P$ es $1-1$, sobre, y la preservación de la operación i.e un bijection por lo tanto $P^{-1}$ debe ser un bijection como bien intencionados $P^{-1}(a*b)= P^{-1}(a)*P^{-1}(b)$
2)(dirección de Avance) Suponga $G$ es abelian, a continuación,$ab=ba$$a,b\in G$. por lo $P(ab)=P(ba)$, lo $P(a)P(b)=P(b)P(a)$. Así que para $P:G\rightarrow G_1$, $P(a)*P(b)=P(b)+P(a)$. (Hacia atrás) Asumiendo $G_1$ es abelian, a continuación, el mismo argumento se puede decir, pero en lugar de usar $c,d$ dentro $G_1$ y el uso de $P^{-1}$
3)(Dirección de Avance): Suponga $G$ es cíclico, así que hay un elemento dentro de un $G$ que genera todo el grupo $G$. Así que cada evento en $G$ tiene un formulario de $a^n$ para algunos dentro de $G$ y algunos $n$ dentro $\mathbb{Z}$. Desde $P(a^n)=(P(a))^n$, todo en $G_1$ tiene un formulario de $(P(a))^n$, lo $G_1$ es generado por $<P(a)>$, lo que hace que $G_1$ un grupo cíclico.
(hacia atrás)Suponga $G_1$ es cíclico, $<P(a)>$ genera $G_1$, por lo que hay un $<P^{-1}(P(a)>$ que genera $G$.
4)Suponga $K$ es un subgrupo de $G$. Para demostrar $P(K)$ es un subgrupo de $G_1$ Mal uso a dos pasos de la prueba. Primera $P(K)$ es no vacía, debido a que $e$ dentro $k$ $P(e_1)$ está dentro de $P(K)$
a)Supongamos que una dentro de $P(K)$ $a^{-1}= P(U^{-1})$ algunos $U$ en $P(K)$, $e_1=P(e)= P(U*U^{-1})$ por lo $P(U^{-1})$ pero $U^{-1}$ está dentro de $K$ $a^{-1} P(U^{-1})$ está dentro de $P(K)$
b)elija cualquiera de los dos elementos de $P(K)$, $P(t),P(s)\in P(K)$. Producto $P(t)P(s)=P(st)$ $st$ está dentro de $k$ desde $k$ es un subgrupo de modo $P(s)P(t)$ está dentro de $P(K)$
