¿Qué fuerzas actúan entre dos burbujas de aire en el agua?

Question

La pregunta exacta es

Dos burbujas de aire en el agua

1. se atraen entre sí
2. se repelen entre sí
3. no ejercen ninguna fuerza entre sí
4. pueden atraerse o repelerse dependiendo de la distancia entre ellos.

El capítulo trata de la gravitación. La respuesta dada es

Un cuerpo más ligero dentro de un medio más denso se comporta como una masa negativa en lo que respecta a la fuerza gravitatoria. Dos burbujas de aire, es decir, dos masas negativas, se atraerán.

¿Qué es la masa negativa en este contexto y cómo puede aplicarse a esos objetos macroscópicos? ¿Cómo se produciría la atracción?

Mi razonamiento es:

Considere la burbuja A en la imagen anterior. Las partículas de aire que forman la burbuja A serían atraídas más hacia la izquierda (lejos de B) ya que hay más partículas densas hacia ese lado-las partículas de aire que forman la burbuja B son menos densas que el medio y atraerán el aire de la burbuja A en menor medida que si el volumen de la burbuja B estuviera lleno del medio.

Un caso similar se aplicaría a B debido a la menor densidad de las partículas que forman A y las burbujas serían (indirectamente) repelidas.

Entonces, ¿qué es ¿que está ocurriendo en este caso?

Answer 1

Sólo hay que considerar el agua, debido a la atracción gravitacional (que no estoy seguro de cuán efectiva es en este caso); a las moléculas de agua les gusta estar lo más cerca posible unas de otras. Esto significa que les gusta empujar las burbujas lo más cerca posible unas de otras. Como el aire tiene una masa insignificante, sus fuerzas gravitacionales pueden despreciarse en comparación con las del agua.

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La otra forma de realizar este razonamiento es la que se ha sugerido en la pregunta, es decir, suponer que las burbujas tienen masa negativa. Esta solución tiene pocos pasos, como los siguientes:

• Digamos que tenemos un enorme bulto esférico de agua (con el radio $R$ ), sin que haya burbujas en su interior. El potencial de gravedad de esta esfera es $\frac{-3GM^2}{5R}$ pero no vamos a utilizarlo.

• Ahora, digamos que no quitamos una pequeña parte esférica (radio $r$ y la masa $m$ ) del agua y sustituirla por una esfera del mismo tamaño con densidad $\rho'$ (o masa $m'$ ), sino que se añade a la esfera actual (una esfera fantasma que sólo puede interactuar a través de la gravedad con el mundo). Para calcular la fuerza gravitatoria que actúa sobre esta esfera utilizando Teorema de Shell también necesitamos saber la distancia al centro; supongamos que es $x$ . Como la esfera estaba antes en equilibrio, la nueva fuerza neta será (nótese que la fuerza debe ser proporcional a la masa de cada objeto):

$$ -\frac{GM'(x)}{x^2}m' \tag{1}$$ donde $M'(x)$ es la masa de agua dentro de una esfera de radio $x$ .

• El siguiente paso es hacer lo mismo con otra pequeña esfera de agua. Para simplificar las relaciones, pondré ésta en $-x$ . Ahora la fuerza neta sobre la primera y segunda esfera será:

$$F_1=-\frac{GM'(x)}{x^2} m' - \frac{G m' m'}{(2x)^2} \\ F_2=\frac{GM'(x)}{(x)^2} m' + \frac{G m' m'}{(2x)^2}$$

O las aceleraciones:

$$a_1=-\frac{GM'(x)}{x^2} - \frac{G m' }{(2x)^2} \\ a_2=\frac{GM'(x)}{(x)^2} + \frac{G m' }{(2x)^2}$$

• En el caso de nuestro problema $m' = -m$ Por lo tanto:

$$a_1=-\frac{GM'(x)}{x^2} + \frac{G m }{(2x)^2},$$

( $M'(x) \gg m$ )que está hacia el centro(y la otra esfera). Así que parece que las dos esferas se atraen entre sí.

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Ahora hay algunas ambigüedades aquí:

1. ¿Las masas negativas se comportan de forma matemáticamente coherente (podemos utilizar $F=m a$ ), lo que he asumido como el caso.
2. ¿Esta atracción se debe a la gran esfera de agua o a la otra esfera? Mirando la ecuación $(1)$ Parece ser el primer caso; a no ser que mi convención de signos anterior sea errónea, lo que significa simplemente que la gran esfera de agua intentará alejar las burbujas, aunque exista una fuerza de atracción entre ellas (si están más cerca que una cierta distancia se atraerán).

También debo señalar, que si las burbujas se ponen en contacto; inmediatamente colapsarán en una sola burbuja. Esto se debe a la tensión de la superficie, no a los efectos gravitacionales con seguridad.

Answer 2

Tal vez este diagrama del campo gravitacional ayude:

EDITAR el comentario:

En primer lugar se refiere a eléctrico líneas de campo, no magnéticas. Y sí, parecen iguales porque son iguales. Las ecuaciones de campo subyacentes son idénticas (en el límite estático no relativista). La diferencia es que para las cargas gravitatorias atraer a mientras que para las fuerzas eléctricas como las cargas repelen .

Tal vez la trama sea poco clara. Tenga en cuenta que esta trama es la fuerza en la fluido , no las burbujas. Se supone que debes quitar que el fluido entre las burbujas fluye fuera del espacio y las burbujas se acercan. ;)

Para hacer este problema correctamente necesitas algunas suposiciones sobre el fluido: en concreto, que tenga tensión superficial para estabilizar las burbujas y también que el flujo sea incompresible (de lo contrario, tienes que estar pendiente de la densidad en todas partes y se vuelve realmente horrible). También hay que poner el sistema en una caja (puede ser una caja gigantesca, el tamaño no importa al final) para evitar las ambigüedades de tener una masa infinita de fluido. Bajo estos supuestos puedes argumentar que las burbujas no pueden expandirse, y también que cualquier flujo que salga de una región tiene que ser equilibrado por un flujo hacia otra región.

Supongo que aún no estás en el punto de ver la teoría del campo. Toma esto como una ilustración de que hay formas complicadas de hacer problemas sencillos . La ventaja de la teoría de campos es que es mucho más general y potente para otros problemas. Pero para esto no la necesitas realmente - el argumento de la "masa negativa" te da la respuesta correcta. Pero esto puede darte la seguridad de que el argumento dado sobre la "masa negativa" es correcto. De hecho, esto es mejor porque no necesitamos invocar la "masa negativa" en absoluto - sólo hablamos del fluido.

Si asumes, basándote en lo anterior, que las burbujas no cambian de forma o tamaño, entonces puedes tratar el problema de forma muy sencilla. Todo lo que necesitas saber es que el potencial gravitatorio de una burbuja es

$$ \phi(r) \propto \frac{1}{r}, $$

con un signo positivo fuera de la burbuja y

$$ \phi(r) = \text{a constant}, $$

dentro de la burbuja. Si sabes Ecuación de Poisson para el campo gravitacional se puede derivar esto. El potencial total se obtiene sumando los potenciales creados por las dos burbujas. También necesitas conocer la energía gravitatoria de una pequeña parcela de fluido de volumen $\Delta V$ viene dada por

$$ \Delta U = \phi(x,y,z) \rho(x,y,z) \Delta V, $$

donde $\rho(x,y,z)$ es la densidad, que es constante en todas partes fuera de una burbuja y cero en cualquier lugar dentro. Suma la energía de cada trozo de fluido ("haz una integral") para obtener la energía total, y observa si aumenta o disminuye con respecto al aumento de la separación entre las burbujas. El sistema irá naturalmente en la dirección que disminuye la energía total.

¿Cómo es la energía? Aquí (las unidades de energía son arbitrarias, las de longitud están en radios de burbuja):

A separaciones inferiores a 2 radios, las burbujas se cruzan, por lo que ya no se puede confiar en el cálculo: ¡seguro que las burbujas empiezan a cambiar de forma cuando chocan! Pero para separaciones mayores el cálculo es correcto y mira, la energía aumenta. Así que cuesta energía separar las burbujas. Las burbujas se atraen entre sí.

El hecho de que casi el mismo cálculo realizado para el electromagnetismo dé como resultado cargas que se repelen es una pista interesante e importante sobre la diferencia entre las dos teorías. Si tienes mucho interés, puedes intentar resolver este problema algún día.

Answer 3

Creo que veo el argumento:

Hay que ir a la línea que une A y B. Y dibujar dos tangentes verticales a la derecha para A y a la izquierda para B. Hay más volumen de agua para atraer el agua en la región de la izquierda de A, por lo que habrá una fuerza hacia B, y viceversa.

De todos modos las burbujas en los líquidos no son un asunto sencillo como lo plantea tu problema.

ver : http://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/18811248.2001.9715037

Answer 4

¿Qué es la masa negativa en este contexto?

Piensa en una sola burbuja en medio de un vaso de agua en tu mesa.

Normalmente, la gravedad atrae el aire por encima del escritorio hacia la superficie del mismo.

Sin embargo, en este caso el aire de la burbuja no se mueve hacia abajo bajo la influencia de la gravedad. Se mueve en la dirección opuesta. Es como si el aire de la burbuja tuviera masa negativa y fuera repelido por la gravedad.

De hecho, el aire no tiene masa negativa y no se repele, pero la situación real es más compleja de describir.

Answer 5

Así es como yo lo veo:

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Al "soltar" las burbujas de aire, éstas tienden a subir debido a la fuerza de flotación, $\rho_wgv$ . Por lo tanto, están en movimiento con respecto al fluido estático. Suponiendo que las burbujas de aire sean esféricas, en su movimiento cambian la presión del agua (es decir, las líneas de corriente del agua están más juntas). Ahora, como tenemos dos burbujas de aire, el área entre ellas se ve afectada por el movimiento de ambas burbujas, y las líneas de corriente se comprimen más. Esto da lugar a una menor presión en la zona entre las burbujas en relación con la presión a la izquierda de A y a la derecha de B. Así, las burbujas de aire son "atraídas" una hacia la otra. Esto es similar a la Efecto Venturi .

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No estoy seguro de si debemos suponer que las burbujas están en movimiento o si se mantienen fijas, pero si efectivamente están fijas, he aquí un experimento para probar:

Coge dos pelotas de ping-pong y conecta cada una a una cuerda distinta. Coloca las pelotas de ping-pong en un recipiente lleno de agua y conecta las cuerdas al fondo del recipiente (justo debajo de cada pelota de ping-pong). Estabiliza las pelotas de ping-pong de forma que cada cuerda quede perpendicular al fondo del recipiente. A continuación, suéltalas y observa lo que ocurre.

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Lo tengo:

Imagina un(n) universo (infinito) que está completamente lleno de agua. Agua hasta donde alcanza la vista. Se puede intuir que la fuerza sobre cualquier molécula de agua es 0, porque es atraída hacia cualquier otra molécula de agua (en cualquier dirección) en este universo. Ahora, digamos que hay un vacío en este universo de agua. Una región esférica donde no existe el agua. Ahora imaginemos una "partícula de prueba", con masa $M$ y calcular la fuerza gravitatoria en la dirección lejos del centro del círculo . Suponiendo que existe una densidad lineal en el agua, de manera que cada unidad de distancia $r$ contiene una masa $m$ la fuerza en esa dirección es: $$GMm\sum\limits_{i=0}^\infty \frac{1}{(0.5+i)^2}\approx\left(GMm\right)*4.9348$$

Debido al vacío en la dirección opuesta, la fuerza en esa dirección es menor que la calculada anteriormente. Así que la fuerza neta es fuera del vacío. De hecho, una partícula de prueba colocada en cualquier lugar cerca de este vacío experimentará una fuerza neta que se aleja de él.

Lo que esto implica es que el agua es empujada fuera del vacío en todas las direcciones. Esto me lleva a pensar que el vacío (también conocido como burbuja) se expandiría para ocupar el espacio dejado por el agua.

Ahora imagina dos vacíos. El campo de fuerza se parece a lo que ha publicado Michael Brown. Dado que el agua es empujada lejos de las dos burbujas, la pregunta es ¿qué deja atrás? Parece que las dos burbujas se expanden hasta convertirse en una gran burbuja (que también se expande). Se mire como se mire, las burbujas se combinan en una sola.