¿Cuál es el número de ordenadas trillizos $(x, y, z)$ de manera tal que el MCM de a $x, y$ $z$ es ...

Question

¿Cuál es el número de ordenadas trillizos $(x, y, z)$ de manera tal que el MCM de a $x, y$ $z$ $2^33^3$ donde $x, y,z\in \Bbb N$?

Lo que he intentado :

Al menos uno de $x, y$ $z$ debe tener factor de $2^3$ y al menos uno debe tener el factor de $3^3$. Luego traté de averiguar las posibles combinaciones, pero no pudo obtener la respuesta correcta.

Answer 1

Utilizamos Inclusión/Exclusión.

En primer lugar encontramos el número de (positivo) de triples, en el que cada entrada se divide $2^33^3$. En cada uno de $x$, $y$, $z$ tenemos $(4)(4)$ opciones, para un total de $16^3$.

Queremos restar el número de triples en el que cada entrada se divide $2^23^3$. Hay $12^3$ tal triples. También hay $12^3$ tal triples en la que cada elemento se divide $2^33^2$.

Pero hemos restado una vez demasiadas veces la $9^3$ triples en el que cada entrada se divide $2^23^2$.

Así que el total es $16^3-2\cdot 12^3+9^3$.

Answer 2

Considerar todos los candidatos tripletas de la forma: $$ (2^{a_1}3^{b_1}, 2^{a_2}3^{b_2}, 2^{a_3}3^{b_3}) $$ donde para cada una de las $i \in \{1, 2, 3\}$,$a_i, b_i \in \{0, 1, 2, 3\}$.

Podemos definir a un candidato triple a ser válida si por alguna $j, k \in \{1, 2, 3\}$,$a_j = 3$$b_k = 3$. De lo contrario, si ($a_j \in \{0, 1, 2\}$ todos los $j \in \{1, 2, 3\}$) o ($b_k \in \{0, 1, 2\}$ todos los $k \in \{1, 2, 3\}$), entonces ese candidato triple se considera no válida.

Observar que: \begin{align*} \text{# of valid triples} &= \text{# of candidate triples} - \text{# of invalid triples} \\ &= 4^6 - (3^3 \cdot 4^3 + 4^3 \cdot 3^3 - 3^6) \end{align*}