¿Se podría intentar aplicar la secuencia espectral de Eilenberg-Moore para el retroceso diagrama → ← X •, obteniendo una secuencia espectral TorH•(X, R)(R, R) => H•(ΩX, R), pero podría haber diferencias o problemas de extensión que se diferencian por diferentes espacios X con el mismo anillo del cohomology?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Tyler comentario a mi anterior respuesta, parece dar una solución; se sugiere comparar el espacio $T=(S^3\vee S^3)\cup\_{[x,[x,y]]} e^8$ con una cuña $S^3\vee S^3\vee S^8$. Es probablemente más fácil pensar acerca de homología con el Pontryagin producto. Homología de bucles en la cuña será un tensor de álgebra de clases en 2,2,7 (ya que es bucles de suspensión). La homología de los bucles en Tyler espacio- $T$ debe difieren en la dimensión 6: la homología de la clase [x,[x,y]] será 0 (donde x,y son ahora la homología de los generadores en la dimensión 2), "asesinado" por el nuevo adjuntar mapa. Así H_6 (y por lo tanto H^6) de los dos espacios tienen diferente valor.
Para hacer esto explícito, tenemos $S^7 \xrightarrow{f} X \rightarrow T$, donde X es la cuña de dos 3-esferas. La restricción de $\Omega f: \Omega S^7 \to \Omega X$ es un mapa de $S^6 \to \Omega X$ medico adjunto f, y en la homología esto golpea la homología de la clase correspondiente a la [x,[x,y]]. El resultado de la siguiente manera porque $\Omega S^7 \to \Omega X \to \Omega T$ es nulo homotópica. (Estoy básicamente mediante la Hilton-Milnor el teorema de entender $\Omega X$.)
BZ.
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Complementando las otras respuestas en este hilo: mientras que el cohomology anillo de una simplemente se conecta el espacio no determinar la cohomology del bucle espacio, la racional cohomology visto como una $A_\infty$-álgebra.
Es decir, la cohomology de cualquier $A_\infty$-álgebra $A$ $\mathbf{Q}$ (en particular, de cualquier diferencial graduada álgebra) realiza un $A_\infty$-estructura tal que hay un $A_\infty$ mapa de $H^\ast(A)\to A$ la inducción de la identidad en cohomology; esto $A_\infty$ estructura es única hasta no único isomorfismo. Ver, por ejemplo, Keller, Introducción a la A-infinito álgebras y módulos, 3.3 y las referencias allí contenidas. Tomando $A$ a ser el racional singular cochains de un espacio topológico $X$ obtenemos una $A_\infty$-estructura en $H^\ast(X,\mathbf{Q})$.
Para cada una de las $A_\infty$ álgebra $H$ le corresponde una construcción de la barra, que es un servicio gratuito de diferencial coalgebra en $H$ desplazado por 1 a la izquierda (ver, por ejemplo, 3.6 de Keller papel se mencionó anteriormente). Se trata de una antigua resultado de Kadeishvili (ver MR0580645) el que si $H$ es el cohomology de una simplemente conectado espacio de $X$ con la anterior $A_\infty$-estructura, el cohomology de la construcción de la barra es el cohomology de $\Omega (X)$.
Esto también explica por qué deberíamos esperar una respuesta negativa a la pregunta tal como está dicho: todos los componentes de la $A_\infty$ estructura de la cohomology participar en la construcción de la barra, y no sólo el producto.
Patrick McElhaney
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22093
Bien, simplemente se conecta Mentira grupos tienden a tener cohomology que es un exterior de álgebra. Por ejemplo, SU y X = S3 x5 x7 x ... tienen el mismo cohomology anillo. Pero ΩSU=BU, y ΩX no lo es. Ya que cada H∗ΩSn es un poder dividido álgebra, mientras que H∗BU es un polinomio de álgebra, esto debería proporcionar un contraejemplo, creo. Supongo que esto se muestra en la Eilenberg-Moore espectral de la secuencia como un no-trivial problema con la extensión.
Patrick McElhaney
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22093
Parece difícil encontrar un ejemplo en el que la cohomology grupos del bucle espacios diferentes. Me imagino que algo similar a lo siguiente debería producir un ejemplo, en el contexto de la racional homotopy:
Encontrar dos racional conmutativa dgas a y B cuya cohomology álgebras son los mismos que los anillos, pero que tienen diferentes massey estructuras de producto. Entonces creo que es probable que la derivada del tensor de productos Q ⊗Una Q y Q ⊗B Q tienen diferentes cohomology. No puedo encontrar un ejemplo lo suficientemente pequeño como el que me gustaría cómputo, sin embargo.
Kalid
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Mi sensación es que Carlos está a la derecha de la pista con la respuesta anterior. Pero en lugar de buscar un contraejemplo, yo creo que debemos tener un ir en la corrección de la pregunta original. Ahora no estoy muy seguro sobre el cual los anillos de las siguientes afirmaciones trabajo, posiblemente sólo a través de anillos sobre un campo de tipo char 0. Tal vez alguien sabe los detalles mejor que yo, pero para que funcione probablemente requerirá trabajar con simplicial álgebras como se trata de un modelo de estructura sobre cualquier anillo.
El cochains de X llevar un dg-álgebra de la estructura de A. Puesto que ΩX es el homotopy retroceso de • → X ← • y tomando cochains debe preservar la pertinente (co)de los límites (alguien me puede ayudar aquí), entonces el cochains anillo de ΩX es el homotopy pushout de k ← A → k, es decir, la derivada del tensor de producto. Entonces podemos tomar cohomology.
Para el siguiente bit necesitamos probablemente la característica 0. El cochains anillo va a ser bastante grandes, así que para mantener un registro de las cosas que podríamos tomar la cohomology, pero recuerda que el mayor de operaciones. A continuación, como un infinito anillo de la cohomology H(a) será cuasi-isomorfo a (que no es necesariamente cierto si no recordamos la mayor de las operaciones). Entonces, con eso en mente, podemos calcular la derivada de la forma de k ⊗_H(a) k. Su cohomology debe ser el cohomology del bucle espacio.
Sería bueno tener un contraejemplo aunque, ¿qué hay acerca de los complementos de enlaces, la cohomology anillos no son tan malas para calcular (sólo en función del número de enlaces sobre los racionales, al menos). Lo que sobre el bucle de espacios?
