Demostrar que cualquier divisor distinto de cero de un álgebra de dimensión finita tiene un inverso

Question

Sea $A$ sea un álgebra de dimensión finita. Demostrar que un elemento de $A$ es invertible si no es divisor de cero.

Sea $a$ sea un elemento invertible, entonces existe un elemento $b$ tal que $ab=1$ y asimilar que $a$ es un divisor cero, entonces existe un elemento $c \neq 0$ tal que $ac=0$ y no lo sé.

Answer 1

He aquí otro enfoque. Dejemos que $k$ denotan el campo base.

El mapa $T_a : x\mapsto ax$ es una transformación lineal $A\to A$ de espacios vectoriales de dimensión finita sobre $k$ de la misma dimensión.

Por el teorema de Rank-nulidad, $T_a$ es inyectiva si y sólo si es suryectiva.

Pero $T_a$ es inyectiva si y sólo si $a$ es un divisor distinto de cero, y suryectivo si y sólo si $a$ es una unidad.

---

Para un álgebra posiblemente no conmutativa, debemos considerar dos mapas lineales, $L_a$ y $R_a$ para la multiplicación por la izquierda y por la derecha, respectivamente.

Como la invertibilidad a la izquierda es equivalente a la invertibilidad a la derecha, ahora podemos decir: $a$ no es un divisor cero a la izquierda si $R_a$ es inyectiva si $R_a$ es suryectiva si $a$ es una unidad si $L_a$ es suryectiva si $L_a$ es inyectiva si $a$ no es un divisor cero a la derecha.

Answer 2

Si $ab=1$ y $ac=0$ entonces $ab-ac=1$ lo que significa $a(b-c)=1$ . Así que $b-c=b$ (por la unicidad de los inversos) lo que significa que $c=0$ contradiciendo el hecho de que $c\neq 0$ .

Otra prueba corta para esta dirección. Supongamos $a$ es invertible y $f\colon A\to A$ viene dada por $f(x)=axa^{-1}$ que es un homomorfismo de álgebra. El mapa $f$ es inyectiva porque si $f(x)=f(y)$ entonces $axa^{-1}=aya^{-1}\Rightarrow x=y$ . Supongamos que existe un $c\in A$ tal que $ac=0$ . Entonces $f(c)=aca^{-1}=0a^{-1}=0$ así que por inyectividad $c=0$ y por lo tanto $a$ no puede ser un divisor cero.

Answer 3

La respuesta de Daniel se ocupa de una dirección de implicación. Nótese que no se utiliza el hecho de que el álgebra es finito-dimensional.

Para la otra dirección: supongamos que $a$ no es invertible. Obsérvese que debe existir un mínimo $n$ de forma que los elementos $1,a,a^2,\dots,a^n$ no son linealmente independientes. Por lo tanto, tenemos $$ \sum_{k=0}^n c_k a^k = \sum_{k=1}^n c_k a^k = 0 \implies a\left(\sum_{k=1}^n c_k a^{k-1}\right) = 0 $$ Obsérvese que, en lo anterior, utilizamos el hecho de que $c_0$ debe ser $0$ si $a$ no es invertible. Intenta averiguar por qué.

He aquí una prueba alternativa de la otra dirección: supongamos que $a$ es un divisor cero, y que $c \neq 0$ es tal que $ac = 0$ . Supongamos (por contradicción) que $a$ tiene un inverso izquierdo. Es decir, existe un $b$ tal que $ba = 1$ . Observamos que $bac = (ba)c = c$ pero $bac = b(ac) = 0$ . Así que.., $c = 0$ que es una contradicción.

Answer 4

En cualquier anillo, los elementos invertibles (unidades) no pueden ser divisores de cero; para dejar que $a$ sea invertible en el anillo $R$ entonces tenemos $b \in R$ tal que $ab = ba = 1$ . Si $a$ es un divisor cero, entonces tenemos $ac = 0$ o $ca = 0$ para algunos $0 \ne c \in R$ . Pero $ac = 0$ implica

$c = 1c = (ba)c = b(ac) =0, \tag{1}$

de la misma manera, $ca = 0$ también implica $c = 0$ ; estas contradicciones descartan la posibilidad de que $a$ es un divisor cero.

Para ver que los divisores distintos de cero son invertibles para $a \in A$ , an álgebra de dimensión finita sobre algún campo $\Bbb F$ recordemos que para $a$ la secuencia $1, a, a^2, \ldots, a^i, \ldots$ debe presentar una dependencia lineal, ya que $\dim A < \infty$ . Por lo tanto, para un valor mínimo $n$ existe un conjunto de $ f_i \in \Bbb F$ , $0 \le i \le n$ no todos $f_i$ cero, con

$\sum_0^n f_i a^i = 0; \tag{2}$

aquí tenemos $f_n \ne 0$ en virtud de la minimalidad de $n$ También podemos suponer $n \ge 2$ ya que en caso contrario (2) afirma que $a \in \Bbb F$ y la pregunta se trivializa. Dada una relación como (2) entre las potencias de $a$ podemos escribir

$\sum_1^n f_i a^i = -f_0 \tag{3}$

o

$a\sum_1^n f_i a^{i -1}= - f_0. \tag{4}$

Observamos que no podemos tener

$\sum_1^n f_i a^{i - 1} = 0 \tag{5}$

por la minimalidad de $n$ por lo que no podemos tener $f_0 = 0$ (4) se convierte en

$a\sum_1^n f_i a^{i - 1} = 0, \tag{6}$

afirmando que $a$ es un divisor cero. Pero con $0 \ne f_0 \in \Bbb F$ podemos escribir (4) de la forma

$a (\sum_1^n (-f_0^{-1})f_i a^{i - 1}) = (\sum_1^n (-f_0^{-1})f_i a^{i - 1}) a = 1, \tag{7}$

demostrando que $a^{-1}$ viene dada, de hecho, por la expresión polinómica

$a^{-1} = \sum_0^n (-f_0^{-1})f_i a^i; \tag{8}$

por tanto divisores distintos de cero en álgebras $A$ de dimensión finita sobre sus campos $\Bbb F$ son invertibles. QED.