Son matrices inversas único?

Question

Hace una matriz sólo tiene una inversa de la matriz (como el inverso de un elemento en un campo)? Si es así, ¿significa esto que

$A,B \text{ have the same inverse matrix} \iff A=B$?

Answer 1

Más en general, en cualquier situación donde la asociativo de la ley se mantiene, si algunos de $x$ tiene una izquierda inverso $l$ y un derecho inverso $r$,$l=r$. La razón es que el $l=l(xr)=(lx)r=r$. En particular, si $x$ $2$cara inversa, a continuación, que es único. Por otro lado, es completamente posible que en algunos $x$ diferentes de izquierda inversas, si él no tiene el derecho inversa. También es posible que algunos $x$ tener muchas derecha-inversas, si no tiene a la izquierda inversa. Ambos de estas posibilidades realmente sucede en el caso de incumplimiento de las matrices cuadradas.

Answer 2

Si $A$, $B$ son matrices cuadradas del mismo inverso $C$,$AC=CA=I$$BC=CB=I$. Por lo tanto, $$A =AI= A(BC)= (AC)B = IB = B.$$ La cosa extraña acerca de las matrices es esta: Si $A$, $B$ se $n\times n$ matrices de más de un campo, a continuación, $AB=I$ fib $BA=I$. Esto es una consecuencia directa del hecho de que el $N\times N$ matrices de la forma de un número finito de dimensiones de espacio lineal.

Answer 3

Tenga en cuenta que $GL(n, \mathbb{F})$, el conjunto de invertible $n\times n$ matrices sobre el campo $\mathbb{F}$, es un grupo. En cualquier grupo, inversas son únicos, así que si $a^{-1} = b^{-1}$, tomando los inversos de ello se sigue que $a = b$. En particular, esto se aplica para el grupo de $GL(n, \mathbb{F})$.

Answer 4

Específicos contraejemplo a la no-plaza de caso: Vamos a $A=\left(\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{smallmatrix}\right)$.

Entonces existe una matriz $B$ tal que $AB=I$, es decir,$B=\left(\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\\x&y\end{smallmatrix}\right)$. Tenga en cuenta que $x,y$ cada uno puede ser cualquier cosa, por lo que este derecho inversa no es única. También tenga en cuenta que$I$$2\times 2$.

Por otro lado, no hay ninguna matriz $C$ tal que $CA=I$, y donde ahora se $I$ tendría que ser $3\times 3$. La razón es que la última columna de $A$ es todo ceros, por lo que la última columna de $CA$ sería todo ceros así. Por lo tanto $A$ no tiene a la izquierda de la inversa en todo.

Answer 5

Sí, es único. Para mostrar esto, supongamos una matriz de $A$ tiene dos inversos $B$$C$, por lo que el$AB=I$$AC=I$. Por lo tanto,$AB=AC \implies BAB=BAC \implies B=C$. Así que a la inversa, es el único. Para la segunda pregunta, tenga en cuenta que$(A^{-1})^{-1}=A$, de modo que si $A$ $B$ tanto inverso $A^{-1}$, $A^{-1}$ tiene un único inverso también. Desde $A$ $B$ ambos son inversos, por lo tanto,$A=B$.