En CWM de Mac Lane, me encuentro con:
la construcción de un polinomio anillo $K\left[x\right]$ en un indeterminado $x$ sobre un anillo conmutativo $K$ es un universal de la construcción.
Por desgracia esto como un ejercicio (pg 59) y yo no administrar a resolverlo. Alguien me puede ayudar con esto?
La característica universal del polinomio anillo de $K[x]$ es que
$$\hom_K(K[x], R) \simeq |R|,$$
donde $\hom$ está ocupada en la categoría de $K$-álgebras, y $|R|$ es el conjunto subyacente de $R$. El bijection se determinan a partir de la imagen de la libre variable $x$. En otras palabras, una variable libre es libre para ir a donde quiere.
Otra forma de decir esto es que el $K[x]$ representa el olvidadizo functor de $K$-álgebras de conjuntos.
En MacLane del lenguaje, el elemento $x \in |K[x]|$ es el "elemento universal" para los desmemoriados functor.
Estrictamente hablando, la pregunta en el título difiere de la cita en Mac Lane del libro. Es más fuerte. Así que permítanme explicar cómo construir $K[x]$ mediante la categoría de la teoría.
Considerar el olvidadizo functor $U : K\mathsf{Alg} \to \mathsf{Set}$. Yo reclamo que $U$ tiene un adjunto a la izquierda, es decir, que para cada conjunto $X$ libre $K$-álgebra $K[X]$ $X$ existe. Utilizamos la general adjunto functor teorema. Claramente $K\mathsf{Alg}$ es completa y $U$ es continuo, esto sólo viene de la costumbre de la construcción de los límites de $K$-álgebras. Para que el conjunto de soluciones condición, vamos a $X \to U(A)$ ser un mapa. Deje $B$ ser el subalgebra de $A$ generado por la imagen de $X$. A continuación, cada elemento de a $B$ $K$- combinación lineal de los elementos de la forma $x_1^{\alpha_1} \cdot \dotsc \cdot x_n^{\alpha_n}$. El cardenal aritmética nos dice que $B$ tiene más de $\aleph_0 \cdot |K| \cdot |X|$ elementos. Esto no depende de la $A$, y no es sólo el conjunto de tales álgebras de hasta isomorfismo. QED
Este argumento lleva de $K\mathsf{Alg}$ a cualquier variedad. Por ejemplo, se produce libre de los módulos, libre de álgebras de Lie, y así sucesivamente.
Cuando usted va a través de los detalles de la prueba anterior, usted también consigue una construcción de $K[X]$: Tomar el conjunto solución de todos los $B$ se discutió anteriormente, y llevar su producto. A continuación, $K[X]$ es el ecualizador de todos los endomorphisms de este producto. Por supuesto, esta construcción no es útil en absoluto. Una de las necesidades de la explícita la estructura de los elementos de $K[X]$. En realidad, esto puede ser derivado de la característica universal:
Deje $B$ ser el subalgebra de $K[X]$ generado por la imagen de $X$. A continuación, $X \to U(B)$ se extiende a $K[X] \to B$, e $K[X] \to B \to K[X]$ es la identidad, ya que este es el caso en $X$. Por lo tanto, $B \to K[X]$ es surjective, es decir, $K[X]$ es generado por la imagen de $X$. Por lo tanto, cada elemento puede ser escrito como $\sum_\alpha \lambda_\alpha x^{\alpha}$; aquí $\alpha$ es un multiindex, y $x^{\alpha}$ es el producto de todos los $x^{\alpha_x}$. Afirmo que esta representación es única. Para simplicitly supongamos $X=\{x\}$, es decir, que tenemos una variable, y $\sum_n \lambda_n x^n = 0$. Por el universal de la propiedad hay un homomorphism $K[x] \to K$ asignación de $x \mapsto 0$. Aplicando esto a la ecuación, obtenemos $\lambda_0=0$. De ello se desprende $x \cdot \sum_{n \geq 1} \lambda_n x^{n-1} = 0$. Tan sólo tenemos que demostrar que $x$ es regular. No tengo prueba de esto, sin embargo, que no sólo tiene que utilizar la construcción explícita de $K[x]$).
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