¿$f'$ es limitada $\Rightarrow$ $f$ está delimitado?

Question

Que $I$ ser un limitado subconjunto conectado en $\mathbb{R}$ y $f: I\rightarrow \mathbb{R}^k$ ser una función diferenciable.

¿Implica fronteridad de $f'$ fronteridad de $f$?

(He editado este post, después me di cuenta que realmente no escribió lo que quería, después de que vi post de Gautam).

Answer 1

Si te refieres a por intervalo acotado intervalo, entonces la respuesta es sí, porque del valor medio teorema. Si no, entonces la identidad de la función proporciona un contraejemplo.

Se agregó una explicación de la limitada intervalo de caso. Podemos suponer que (mediante la adición de una constante que no afecta a acotamiento de $f$, e incluso menos que los de $f'$ $f(x_0)=0$ algunos $x_0\in I$. El intervalo de algunos longitud finita $l$, y el valor medio teorema implica que siempre que $|f(x)|>lC$ algunos $C$ existe $x'\in I$ tal que $|f'(x')|=\frac{|f(x)|}{|x-x_0|}>C$, por lo que si $f$ es ilimitado, $f'$ también debe ser ilimitado.

Answer 2

Considere f(x)=x. Más de $\mathbb{R}$, que es ilimitado, pero la derivada es constante(y por lo tanto limitado). Sin embargo, si usted toma un número finito de intervalos (o un intervalo contenido en un conjunto compacto), entonces la función será limitada, NO porque la derivada es limitada, pero debido a que la función es continua.

Edit: acepto la corrección. Dado continuidad y un intervalo abierto, una función puede ser ilimitado. La diferenciabilidad, la misma historia. Delimitada derivado en la otra mano, de hecho, implica el acotamiento de la función.