Integridad de la métrica inducida en cociente

Question

Deje $(X,d)$ ser una métrica espacios y $G$ un grupo discreto que actúa por isometrías en $X$ y la acción es propiamente discontinua. Entonces es posible definir un inducida por la métrica $\hat{d}$ en el cociente del espacio de $\hat{X}:=X/G$ dice que la distancia entre dos órbitas es el infimum de la distancia entre cualquier par de representantes.

He leído que la integridad de $(\hat{X},\hat{d})$ implica la integridad de $(X,d)$, pero no puedo trabajar fuera de la prueba.

Supongamos $x_n$ es una secuencia de Cauchy para $d$, entonces, si $\hat{x}_n$ es la secuencia de las órbitas $\hat{X}$, $\hat{x}_n$ es de Cauchy para$\hat{d}$$\hat{X}$. Entonces sabemos que existe $\hat{x}\in \hat{X}$ cual es el punto límite de $\hat{x}_n$$\hat{X}$$\hat{d}$. Pero no puedo ver por qué esto debería implicar la existencia de un punto límite $x$$x_n$$X$$d$.

Answer 1

Asumir WLOG que $\hat{d}(\hat{x}_n,\hat{x})<\frac{1}{2n}$ todos los $n$. Si no, podemos pasar a una larga y aplicar el siguiente argumento, ya que si una larga de una secuencia de Cauchy tiene un límite, toda la secuencia. Por la definición de $\hat d$ podemos encontrar $a_n$ en la órbita de $x_n$ $b_n$ en la órbita de $\hat x$ tal que $d(a_n,b_n)<\frac1n$. Podemos encontrar $g_n\in G$ tal que $g_n a_n=x_n$. Desde $G$ hechos por isometrías obtenemos $d(x_n, g_nb_n)<\frac1n$. Desde $(x_n)$ es de Cauchy, por lo que es $(g_nb_n)$, pero la segunda está contenida en la órbita de $\hat x$, que es discreto, ya que la acción es propiamente discontinua (ver aquí). Esto significa $g_nb_n=x$ algunos $x\in X$ y de un gran $n$. Esta $x$ es el tratado de límite.