Una elementales de verificación de la equivalencia entre dos expresiones para $e^x$

Question

Le agradecería que algunos comentarios constructivos sobre el siguiente argumento para \begin{equation*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n} . \end{ecuación*} Entiendo que hay varios argumentos para ello. Me gusta que esto no implica que el logaritmo natural de la función. Miré en muchos de primaria libros de texto en análisis real de tal argumento. Sólo he encontrado uno, pero fue en el caso especial $x = 1$, y fue errónea. La única análisis de las técnicas utilizadas son la convergencia de la secuencia definida por \begin{equation*} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n} , \end{ecuación*} y la convergencia absoluta de \begin{equation*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} . \end{ecuación*} Aquí está.

Demostración

De acuerdo con el Teorema del Binomio, para cada entero positivo $n$, \begin{align*} &\sum_{i=0}^{n} \frac{x^{i}}{i!} - \left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n} \\ &\qquad = \sum_{i=0}^{n} \frac{x^{i}}{i!} - \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} \frac{x^{i}}{n^{i}} \\ &\qquad = \sum_{i=0}^{n} \left[\frac{x^{i}}{i!} - \binom{n}{i} \frac{x^{i}}{n^{i}} \right] \\ &\qquad = \sum_{i=0}^{n} \left[\frac{1}{i!} - \frac{1}{n^{i}} \binom{n}{i} \right] x^{i} \\ &\qquad = \sum_{i=2}^{n} \left[\frac{1}{i!} - \frac{1}{n^{i}} \binom{n}{i} \right] x^{i} . \end{align*} Para cada entero $2 \leq i \leq n$, \begin{align*} \frac{1}{n^{i}} \binom{n}{i} &= \frac{1}{n^{i}} \cdot \frac{n!}{i!(n-i)!} \\ &= \frac{1}{n^{i}} \cdot \frac{n(n - 1)(n - 2) \cdots (n - i + 1)}{i!} \\ &= \frac{1}{i!} \cdot \frac{n(n - 1) (n - 2) \cdots (n - (i - 1))}{n^{i}} \\ &= \frac{1}{i!} \left(1 - \frac{1}{n}\right) \left(1 - \frac{2}{n}\right) \cdots \left(1 - \frac{i - 1}{n}\right) . \end{align*} Así, \begin{equation*} \sum_{i=0}^{n} \frac{x^{i}}{i!} - \left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n} = \sum_{i=2}^{n} \left[1 - \left(1 - \frac{1}{n}\right) \left(1 - \frac{2}{n}\right) \cdots \left(1 - \frac{i - 1}{n}\right) \right] \frac{x^{i}}{i!} \end{ecuación*} De acuerdo a la Desigualdad de Triángulo, para cada par de enteros positivos $2 \leq k < n$, \begin{align*} &\left\vert \sum_{i=0}^{n} \frac{x^{i}}{i!} - \left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n} \right\vert \\ &\qquad \leq \left\vert \sum_{i=2}^{k} \left[1 - \left(1 - \frac{1}{n}\right) \left(1 - \frac{2}{n}\right) \cdots \left(1 - \frac{i - 1}{n}\right) \right] \frac{x^{i}}{i!} \right\vert \\ &\qquad\qquad + \left\vert \sum_{i=k+1}^{n} \frac{x^{i}}{i!} \right\vert + \left\vert \sum_{i=k+1}^{n} \frac{1}{n^{i}} \binom{n}{i} x^{i} \right\vert \\ &\qquad \leq \sum_{i=2}^{k} \left[1 - \left(1 - \frac{1}{n}\right) \left(1 - \frac{2}{n}\right) \cdots \left(1 - \frac{i - 1}{n}\right) \right] \frac{\vert x \vert^{i}}{i!} \\ &\qquad\qquad + \sum_{i=k+1}^{n} \frac{\vert x \vert^{i}}{i!} + \sum_{i=k+1}^{n} \frac{1}{n^{i}}\binom{n}{i} \vert x \vert^{i} . \end{align*} \begin{align*} &\sum_{i=k+1}^{n} \frac{1}{n^{i}} \binom{n}{i} \vert x \vert^{i} \\ &\qquad = \sum_{i=k+1}^{n} \frac{1}{i!} \left(1 - \frac{1}{n}\right) \left(1 - \frac{2}{n}\right) \cdots \left(1 - \frac{i - 1}{n}\right) \vert x \vert^{i} \\ &\qquad = \frac{1}{(k+1)!} \left(1 - \frac{1}{n}\right) \left(1 - \frac{2}{n}\right) \cdots \left(1 - \frac{k}{n}\right) \vert x \vert^{k+1} \\ &\qquad\qquad \!\begin{aligned}[t] &+ \frac{1}{(k+2)!} \left(1 - \frac{1}{n}\right) \left(1 - \frac{2}{n}\right) \cdots \left(1 - \frac{k+1}{n}\right) \vert x \vert^{k+2} \\ &+ \frac{1}{(k+3)!} \left(1 - \frac{1}{n}\right) \left(1 - \frac{2}{n}\right) \cdots \left(1 - \frac{k+2}{n}\right) \vert x \vert^{k+3} \\ &+\ldots + \frac{1}{n!} \left(1 - \frac{1}{n}\right) \left(1 - \frac{2}{n}\right) \cdots \left(1 - \frac{n-1}{n}\right) \vert x \vert^{n} . \end{aligned} \\ &\qquad = \frac{1}{k!} \left(1 - \frac{1}{n}\right) \left(1 - \frac{2}{n}\right) \cdots \left(1 - \frac{k}{n}\right) \vert x \vert^{k} \\ &\qquad\qquad \!\begin{aligned}[t] &\biggl[\frac{1}{k+1} \left(1 - \frac{k}{n}\right) \vert x \vert \\ &\hphantom{\biggl[\vphantom{\frac{1}{k+1}}}+ \frac{1}{(k+1)(k+2)} \left(1 - \frac{k}{n}\right) \left(1 - \frac{k+1}{n}\right) \vert x \vert^{2} \\ &\hphantom{\biggl[\vphantom{\frac{1}{k+1}}}+ \frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)} \left(1 - \frac{k}{n}\right) \left(1 - \frac{k+1}{n}\right) \left(1 - \frac{k+2}{n}\right) \vert x \vert^{3} \\ &\hphantom{\biggl[\vphantom{\frac{1}{k+1}}}+ \ldots \\ &\hphantom{\biggl[\vphantom{\frac{1}{k+1}}} + \frac{1}{(k+1)(k+2) \cdots n} \left(1 - \frac{k}{n}\right) \left(1 - \frac{k+1}{n}\right) \cdots \left(1 - \frac{n-1}{n}\right) \vert x \vert^{n-k} \biggr] \end{aligned} \\ &\qquad < \frac{\vert x \vert^{k}}{k!} \left[ \frac{\vert x \vert}{k+1} + \left(\frac{\vert x \vert}{k+1}\right)^{2} + \ldots + \left(\frac{\vert x \vert}{k+1}\right)^{n-k} \right] . \\ \text{por Lo tanto, si $k \geq \vert x \vert$,} \\ &\sum_{i=k+1}^{n} \frac{1}{n^{i}} \binom{n}{i} \vert x \vert^{i} \\ &\qquad < \frac{\vert x \vert^{k}}{k!} \sum_{i=1}^{\infty} \left(\frac{\vert x \vert}{k+1} \right)^{i} \\ &\qquad = \frac{\vert x \vert^{k}}{k!} \cdot \frac{\dfrac{\vert x \vert}{k + 1}}{1 - \dfrac{\vert x \vert}{k+1}} \\ &\qquad = \frac{\vert x \vert^{k}}{k!} \cdot \frac{\vert x \vert}{k + 1 - \vert x \vert} , \\ \text{y si $k \geq 2\vert x \vert$,} \\ &\sum_{i=k+1}^{n} \frac{1}{n^{i}} \binom{n}{i} \vert x \vert^{i} < \frac{\vert x \vert^{k}}{k!} . \end{align*}

Por la convergencia absoluta de \begin{equation*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} , \end{ecuación*} para cada $\epsilon > 0$, no es lo suficientemente grande entero positivo $K$ tal que para cada entero $k \geq K$, \begin{equation*} \sum_{i=k}^{\infty} \frac{\vert x \vert ^{i}}{i!} < \frac{\epsilon}{3} , \end{ecuación*} y así, \begin{equation*} \frac{\vert x \vert^{k}}{k!} < \sum_{i=k}^{\infty} \frac{\vert x \vert ^{i}}{i!} < \frac{\epsilon}{3} \qquad \text{and} \qquad \sum_{i=k+1}^{\infty} \frac{\vert x \vert ^{i}}{i!} < \sum_{i=k}^{\infty} \frac{\vert x \vert ^{i}}{i!} < \frac{\epsilon}{3} . \end{ecuación*} Por lo tanto, si $k \geq \max\{2\vert x \vert, \, K\}$, y si $n > k$, \begin{equation*} \sum_{i=k+1}^{n} \frac{1}{n^{i}} \binom{n}{i} \vert x \vert^{i} < \frac{\vert x \vert^{k}}{k!} < \frac{\epsilon}{3} . \end{ecuación*} Del mismo modo, ya que para cada entero $2 \leq i \leq k$, \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \left[1 - \left(1 - \frac{1}{n}\right) \left(1 - \frac{2}{n}\right) \cdots \left(1 - \frac{i - 1}{n}\right) \right] = 0 , \end{ecuación*} hay una bastante grande entero positivo $N$ tal que para cada entero $n \geq N$, \begin{equation*} \sum_{i=2}^{k} \left[ 1 - \left(1 - \frac{1}{n}\right) \left(1 - \frac{2}{n}\right) \cdots \left(1 - \frac{i - 1}{n}\right) \right] < \frac{\epsilon}{3 \cdot \max\{\vert x \vert^{k}, \, 1\}} , \end{ecuación*} y así, \begin{equation*} \sum_{i=2}^{k} \left[1 - \left(1 - \frac{1}{n}\right) \left(1 - \frac{2}{n}\right) \cdots \left(1 - \frac{i - 1}{n}\right) \right] \frac{\vert x \vert^{i}}{i!} < \frac{\epsilon}{3} . \end{ecuación*} En consecuencia, para cualquier enteros positivos $k \geq \max\{2\vert x \vert, \, K\}$$n > \max\{k, \, N\}$, \begin{equation*} \left\vert \sum_{i=0}^{n} \frac{x^{i}}{i!} - \left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n} \right\vert < \epsilon . \end{ecuación*} Equivalentemente, \begin{equation*} \sum_{i=0}^{\infty} \frac{x^{i}}{i!} = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n} . \end{ecuación*}

Answer 1

Aquí es otro enfoque más sencillo que no hace uso de los logaritmos (así que esto no es exactamente una respuesta, pero es demasiado largo para un comentario). Vamos $$E_{n}(x) = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \cdots + \frac{x^{n}}{n!}\tag{1}$$ then we know that $$E(x) = \lim_{n \to \infty}E_{n}(x)$$ exists for all $x \in \mathbb{R}$. Using binomial theorem it is easy to show that $$F_{n}(x) = \left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n} \leq E_{n}(x) \leq \left(1 - \frac{x}{n}\right)^{-n} = G_{n}(x)\tag{2}$$ for $x > 0$ and $n > x$. (Clearly by binomial theorem each of the expressions $F_{n}(x), E_{n}(x)$ is a finite series of $(n + 1)$ terms and each term of $F_{n}(x)$ is less than or equal to the corresponding term of $E_{n}(x)$. For $0 < x < n$ the function $G_{n}(x)$ can be expressed as an infinite series via the binomial theorem for general index. And again each term of $E_{n}(x)$ is less than or equal to the corresponding term of $G_{n}(x)$. The restriction $0 < x < n$ is needed for the convergence of infinite series representation of $G_{n}(x)$.)

Además se puede demostrar que tanto $(1 + x/n)^{n}$ $(1 - x/n)^{-n}$ tienden a un mismo límite de $n \to \infty$ (se muestra que la relación de estas dos expresiones tiende a $1$). De esto se sigue que para $x > 0$ hemos $$E(x) = \lim_{n \to \infty}E_{n}(x) = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n} = \lim_{n \to \infty}\left(1 - \frac{x}{n}\right)^{-n}\tag{3}$$ The relation obviously holds for $x = 0$. For negative $x$ it is easy to see that that $E(x)E(-x) = 1$ (by multiplication of infinite series) and the proof is easily extended to negative values of $x$. (The fact that $F_{n}(-x) = 1/G_{n}(x)$ will be of help here because it implies that the common limit of $F_{n}(x)$ and $G_{n}(x)$, say $F(x)$, will satisfy $F(x)F(-x) = 1$ similar to $E(x)E(-x) = 1$.)

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El enfoque dado por el OP es correcto, pero poco largo con un montón de pasos intermedios y las necesidades de un poco de paciencia para seguir. Un mejor enfoque en la misma dirección es la apelación a la general, el teorema llamado "Teorema de Convergencia Monótona":

Si para todos los números naturales $j, k$, el doble indexado secuencia $a_{j, k}$ es no negativo y $a_{j, k} \leq a_{j + 1, k}$ para todos los números naturales $j, k$ $$\lim_{j \to \infty}\sum_{k = 1}^{\infty}a_{j, k} = \sum_{k = 1}^{\infty}\lim_{j \to \infty}a_{j, k}$$

Para el presente caso vamos a configurar $$a_{j, k} = \binom{j}{k}\left(\frac{x}{j}\right)^{k}$$ if $k \leq j$ and $a_{j, k} = 0$ otherwise. Then we can see that $$\left(1 + \frac{x}{j}\right)^{j} = \sum_{k = 0}^{\infty}a_{j, k}$$ It is easily verified that $a_{j, k} \leq a_{j + 1, k}$ for all $j, k$ if $x > 0$. Hence the monotone convergence theorem applies and clearly $$\lim_{j \to \infty}a_{j, k} = \frac{x^{k}}{k!}$$ hence we have the result $$\lim_{j \to \infty}\left(1 + \frac{x}{j}\right)^{j} = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}$$ For $x < 0$ we again need the multiplicative properties of the series for $e^{x}$ namely that $e^{x}e^{-x} = 1$.