Cómo probar estos dos "obvio" que los hechos acerca de los círculos?

Question

1) Se dice que Thales demostrado que "un diámetro divide un círculo en dos partes congruentes". He buscado mucho pero no encontraba a su prueba. ¿Cómo puede ser demostrado?

2) ¿Cómo demostrar que "un círculo es una figura convexa"?

Estas son cosas que pueden ser fácilmente observado por el dibujo de un círculo y mirando... Pero es posible probar? Por ejemplo, he encontrado en un libro que uno puede utilizar la desigualdad de triángulo para mostrar que el diámetro es el más grande de acordes... Todo el mundo sabe que, pero me pareció muy interesante que no era una prueba de eso!!! :) ¿Hay algún libro que aborda el "demostrando lo obvio"?

Gracias!

Answer 1

Esto es lo básico que no estoy seguro de que me puede dar una respuesta convincente. Pero la noción primitiva de la congruencia entre dos Euclidiana cifras es que debe haber un movimiento rígido en el plano (que también permite reflexiones) que se transforma en la primera figura en la otra. @Arash perfectamente aceptable respuesta a su primera pregunta que utilizan una reflexión, pero te voy a dar otra respuesta.

Considere la posibilidad de la $180^\circ$ rotación sobre el centro del círculo. Transforma tu especificado en diagonal en sí mismo, ya que la diagonal es una línea que pasa a través de la dinámica de punto centro. Y se transforma cada punto en la circunferencia de un semicírculo con un punto sobre la circunferencia de la otra semicírculo. Asimismo, los puntos dentro de un semicírculo que se envían a los puntos del interior de la otra. Que debe hacerlo, y creo que Thales reconocer esto como una prueba.

Answer 2

Aquí tratamos de demostrar a ellos, mediante la presentación de el punto de $(x,y)$ como un complejo número de $x+iy$. Los argumentos pueden ser adaptados a cualquier otra forma de presentación del círculo.

WLOG, se supone que el círculo con centro en el origen con radio de la unidad.

Para la primera parte, de nuevo WLOG, suponga que el diámetro de la línea de $y=0$. Ahora hay bijection de conjunto de puntos en la mitad superior del círculo con un conjunto de puntos en la mitad inferior del círculo es decir $f(w)=\overline{w}$ donde $w$ es el número complejo, que representan los puntos en el plano.

Para la segunda parte, tome $w=aw_1+bw_2$$a+b=1$, para dos puntos de $w_1,w_2$ en el círculo. WLOG asumen $\mid w_1\mid\leq \mid w_2\mid$. Entonces: $$ \mid w\mid^2=(aw_1+bw_2) (\overline w_1+b\overline w_2)\leq (a\a mediados de w_1\mid+b\a mediados de w_2\mid)^2\leq \mediados de w_2\mid^2 \leq 1 $$ por lo tanto, $w$ se encuentra en el interior del círculo unidad y por lo tanto es convexo.