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Es $\varsigma$ relación de equivalencia?

Deje $\varsigma$ ser una relación en $\wp(\mathbb{N})$ definiendo $\langle A,B\rangle\in \varsigma$ fib existen naturales $n$ tal que $|A\Delta B|=n$. Es $\varsigma$ relación de equivalencia?

Reflexiva: Para todos $A \in \wp(\mathbb{N})$, $|A\Delta A|=0$.

simetría: Para todos los $A,B \in \wp(\mathbb{N})$, existe $n$, s.t $|A\Delta B|=|B\Delta A|=n$.

¿Qué acerca de la transitividad?

5voto

Trevor Wilson Puntos 12994

Sí. $(A \mathbin{\Delta} C) \subset (A \mathbin{\Delta} B) \cup (B \mathbin{\Delta} C)$, por lo que si el lado derecho es finito, así que es el lado izquierdo.

4voto

DiGi Puntos 1925

SUGERENCIA: $\varsigma$ es transitiva. Para $A,B,C\in\wp(\Bbb N)$ a intentar expresar $A\Delta C$ en términos de$A\Delta B$$B\Delta C$.

Agregado: Si usted está familiarizado con ellos, indicador (o característica) de las funciones son una buena manera de pensar acerca de esto:

$$A\Delta B=\{n\in\Bbb N:1_A(n)\ne 1_B(n)\}\;,$$

por lo $\langle A,B\rangle\in\varsigma$ si y sólo si hay un $m\in\Bbb N$ tal que $1_A(n)=1_B(n)$ todos los $n\ge m$.

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