¿En qué se diferencian la intersección teórica de esquemas y la intersección teórica de conjuntos?

Question

En el documento representaciones de grupos lineales generales Existen dos conceptos: la intersección teórica de esquemas y la intersección teórica de conjuntos. ¿Cuáles son sus diferencias y relaciones? Muchas gracias.

Answer 1

Permítanme restringir la discusión al caso afín, a partir del cual el caso general se extiende fácilmente.
Dado un anillo $A$ el esquema afín correspondiente es su espectro primo $X=Spec(A)$ . El punto crucial, a veces no suficientemente subrayado, es que existe una correspondencia perfecta entre los ideales $I\subset A$ y los subesquemas cerrados $Y=V(I)\subset X$ . La estructura del esquema de $V(I)$ se obtiene identificando ese conjunto con $Spec(A/I)$ .
Ahora bien, si tienes otro subesquema cerrado de este tipo $Z=V(J)$ correspondiente al ideal $J\subset A$ su intersección es por definición el subesquema $T=Y\cap Z=V(I+J)\subset X$ correspondiente al ideal $I+J\subset A$ . Teóricamente, la intersección está formada por los ideales primos $P$ que contiene $I$ y $J$ pero la intersección esquema contiene muchísima más información. Permítanme que se lo muestre concretamente.

Un ejemplo Considere $X=Spec( k[S,T]) \subset \mathbb A^2_k$ el plano afín sobre algún campo $k$ .
Considere $Y=V(T)\subset \mathbb A^2_k$ El $S$ -y la familia de susquemas $Z_n=V(T-S^n)\quad (n\geq 1)$ .
La intersección teórica $Y\cap Z_n$ es $Y\cap Z_n=V(T,T-S^n)=V(T,S^n)$ . Para todos los valores de $n$ se obtiene un subesquema del plano con un solo punto: el origen, correspondiente al ideal máximo ${\frak m}=(S,T)$ .
Sin embargo todas las intersecciones son esquema-teóricamente diferentes en pares: el anillo de funciones del subesquema $Y\cap Z_n$ es $k[S,T]/(T,S^n)=k[S]/(S^n)$ una k-álgebra de dimensión $n$ que tiene un radical nilpotente $(S)/(S^n)\subset k[S]/(S^n)$ de dimensión $n-1$ .
El crecimiento del radical nilpotente con $n$ refleja el hecho geométrico de que la curva $T-S^n=0$ es cada vez más tangente a la $S$ -eje con crecimiento $n$ .

Su artículo Parece muy técnico y desde luego no lo he leído. Ojeándolo muy superficialmente, tuve la impresión de que la intersección teórica de esquemas de la ecuación (4.3) corresponde a la descripción anterior.

Answer 2

Si $C_1, C_2$ son subconjuntos cerrados de una variedad cuasi proyectiva $X$ (según la definición del primer capítulo de Hartshorne), la intersección conjunto-teórica de $C_1$ y $C_2$ es el subconjunto cerrado $C_1 \cap C_2$ .

Si $C_1, C_2$ son subesquemas cerrados de un esquema $X$ la intersección esquema-teórica de $C_1$ y $C_2$ es el subesquema cerrado $Y = C_1 \times_X C_2$ . El espacio topológico subyacente de $Y$ es $C_1 \cap C_2$ pero en este caso también es importante la gavilla de estructura.