Es cualquier permutación el producto de dos involuciones?

Question

El resumen de este artículo dice:

"Es bien sabido que cualquier permutación se puede escribir como un producto de dos involuciones."

Estaba buscando todos los recursos de la web que puede proporcionar una afirmación y (esperemos fácil) la prueba de esta afirmación, puede alguien por favor ayuda?

Y si cualquier permutación de hecho puede ser escrito como un producto de dos involuciones, son las siguientes conjeturas correctas?

1. Si $P$ es una permutación y $X$ & $Y$ son involuciones, y $P = XY$, $P^{-1} = YX$
2. Si $X$ & $Y$ son distintos de involuciones de tal manera que ninguno es la identidad de permutación $I$, entonces la permutación $XY$ no es una involución.
3. La única manera de expresar cualquier involución $X$ como producto de dos involuciones es $X = XI$ & $X = IX$ (dado que el $I$ sí, es una involución)

Gracias ...

Answer 1

Para sus tres declaraciones numeradas, $(1)$ es verdadero (fáciles de la prueba), sino $(2)$ $(3)$ son falsas. Un contra ejemplo para $(2)$ es obtenida por la toma de $X = (1,2)$$Y = (3,4)$. A continuación, $XY = (1,2)(3,4)$ es una involución así. Un contraejemplo para $(3)$ es obtenido a partir de este ejemplo; la involución $X = (1,2)(3,4)$ puede ser factorizado como $YZ$ donde$Y = (1,2)$$Z = (3,4)$.

En cuanto a la declaración en cuestión, he aquí una rápida prueba de dibujo:

(1) mediante el uso de distinto ciclo de descomposición, se puede reducir a probar que el ciclo de $(1,2,3,\dots,n)$ se puede escribir como un producto de dos involuciones en $S_n$.

(2) Para manejar ese caso, dibujar $n$ vértices en el plano (etiquetados $1,2,\dots,n$) y conecte el $n$ vértices dibujando $n-1$ bordes. Esto hará que un único (a elección de la dirección del viaje) en el camino en el gráfico. La etiqueta de los bordes $1,2,\dots,n-1$ en el orden de la ruta. Para cada borde, poner los dos vértices conectados por ese borde en una de dos ciclos. A continuación, el formulario de $\pi_1$, el producto de los dos ciclos de esta forma de impar-numerado bordes, y $\pi_2$, el producto de los dos ciclos de formado de esta manera, desde inclusola numeración de los bordes. A continuación, el producto $\pi_2 \pi_1$ $n$ciclo $\tau$. Este debe ser revisado; de hecho, si el número de vértices en el orden de la ruta, a continuación,$\tau = (1,3,5,\dots, 6,4,2)$. Conjugar la relación $\tau = \pi_2 \pi_1$ a conseguir ese $(1,2,\dots,n)$ es un producto de dos involuciones.