¿Son variedades de Banach (u otros tipos de colectores infinito-dimensional) Curiosidades solo, o se han utilizado para probar algunos resultados interesantes/importantes? ¿Dónde sube? ¿Ejemplos importantes?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Matthew Read
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Algunos bastante fundamental de los objetos en el colector de la teoría son de Banach colectores. Tal vez la más simple sería el espacio de $C^k$ diffeomorphisms de un pacto colector de M $k > 0$ finito. Hay, por supuesto, todo tipo de variaciones sobre este tema: la incrustación de espacios, diffeomorphisms que preservan la estructura de algún tipo, el espacio de suave mapas entre los dos colectores, etc, etc.
Así que son usados para probar una variedad de resultados, y son los "objetivos" de muchos de los importantes teoremas. Por ejemplo, Smale del teorema en la homotopy tipo de $Diff(S^2)$, o el Smale-Hirsch teorema sobre la homotopy tipo de espacio de inmersiones de un colector en otro. Palacio del teorema de que los mapas de restricción son haces de fibras (visto más fácilmente a ser fibrations) fue utilizado por Fadell y Neuwirth para mostrar la pura trenza grupos se iteración semi-directa de productos de libre grupos. El hecho de que $Diff(S^1)$ tiene el homotopy tipo de $O_2$ dice que un círculo paquete de más de un espacio siempre es equivalente a la de un círculo de un paquete con estructura lineal de grupo, etc.
IMO la respuesta a su pregunta, se puede resumir en una pequeña pepita de una observación de que si el valor de los colectores, que es natural que el valor de los automorfismos de colectores, y la asignación de espacios de colectores. Y puesto que la asignación de estos espacios tiene una estructura natural (de un colector de Banach) sin duda que debe ser relevante.
Bob
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Como contrapunto a algunas de las otras respuestas, en realidad de Banach (e Hilbert) colectores no son tan útiles como sería de desear. Dos indicadores de este son:
Todos los colectores de Hilbert son diffeomorphic a un subconjunto del espacio de modelo. (Creo que esto también se aplica para los colectores de Banach, pero no estoy lo suficientemente seguro.) En particular, cualquier Hilbert colector es parallelisable por lo que el espacio de la tangente no contiene información.
Si una de Banach Mentira grupo actúa fielmente en un número finito de dimensiones del colector, a continuación, el grupo es finito dimensionales. Así que no hay de Banach modelo de diffeomorphisms (como una Mentira grupo).
Así de Banach y de Hilbert colectores tienden a ser utilizados como lugares para poner otras cosas. Son lo suficientemente grandes para contener casi todo, pero lo suficientemente simple como para que no aumenten las complicaciones. Esto conduce a su uso como ejemplos extremos de "grandes espacios" y significa que para cualquier situación particular, a menudo se puede picar el infinito hasta el finito (pero muy grande). Así, por ejemplo, con respecto a la representación de K-teoría, por cualquier particular finito dimensionales colector de que hay un número finito de dimensiones Grassmannian que va a hacer, pero si usted desea representar K-teoría para todos finito dimensionales colectores, entonces usted necesita un infinito dimensional Grassmannian.
Sin embargo, la situación cambia una vez que permites que otro modelo de espacios (la categoría más grande de los tales es el de la categoría de conveniente espacios vectoriales, la introducción de que es una lectura muy interesante en el cálculo de dimensiones infinitas). Allí se puede y no se pone mucho más interesante el comportamiento y descubrir que se puede estudiar de infinitas dimensiones colectores como los objetos en su propio derecho.
Un ejemplo de esto es la noción de semi-infinita de la estructura. Esto es, casi por definición, sólo disponible en infinitas dimensiones (hay sombras en lo finito) y ha demostrado ser una fuente importante de ideas, si no técnicas reales.
Por supuesto, muchas de las técnicas que implican llevar las cosas de vuelta a dimensiones finitas en el análisis final, pero eso es porque queremos realmente calcular algo y así terminar con un número; y la manera más fácil para obtener un número es el recuento de un número finito de cosas. Pero eso no es diferente a cualquier otro cálculo, por lo que no debería ser visto como una desventaja.
Así que volvemos a la pregunta original. Bueno, realmente no tengo una buena respuesta para eso, ya que yo trabajo con infinitas dimensiones colectores para no gastar tiempo preocupándose acerca de lo que los demás quieren aplicar este trabajo, me acaba de obtener con ella. Pero, no obstante, un tema que veo mucho es que de las infinitas dimensiones de imagen "del" ser de la derecha y el que da la intuición de cómo el finito dimensionales aproximaciones de encajar.
Así vemos que Floer la teoría es en realidad Morse de la teoría aplicada a bucle espacios, pero no muchos se compute como tal. Vemos que la elíptica género es (era originalmente!) realmente índice de la teoría aplicada a bucle espacios, pero una vez más que no es útil para los cálculos!
En general, en cualquier lugar donde usted tiene funciones que pueden variar, tienes un infinito de dimensiones múltiples y que conviene recordar porque puede dar pistas importantes sobre cómo proceder.
Jan Hlavacek
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csmba
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Aaron Wagner
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David Ebin y Jerry Marsden resultó en una 1970 papel en los Anales que el de Euler y Navier-Stokes, ecuaciones son bien planteado por cortos periodos de tiempo. Este resultado se utiliza la geometría de dimensiones infinitas colectores de una manera muy elemental: el espacio de configuración de un fluido incompresible en un recipiente $M$ es el grupo de volumen-la preservación de diffeomorphisms $\mathrm{Diff}_{\mathrm{vol}}(M)$ $M$ y esto es por supuesto un infinito de dimensiones múltiples. La prueba se basa en el hecho de que las ecuaciones de Euler definir un campo de vectores Hamiltoniano en este espacio, y con cuidado, relajando las definiciones y poniendo todo en el derecho de Sobolev espacio básicamente puedes utilizar los teoremas de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales ordinarias para demostrar el resultado deseado.
Estoy de curso de quitar importancia a lo largo de muchos detalles. Uno de los problemas, por ejemplo, cuando se trata de hacer de esta idea riguroso es que el término convectivo $\mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u}$ en el de Euler ecuaciones conduce a la derivada de la pérdida, pero esto puede ser subsanada mediante la reescritura de las ecuaciones en la forma de Lagrange. Si usted quiere hacer todo este ir y venir de una manera adecuada, se necesita una buena comprensión de la geometría subyacente de $\mathrm{Diff}_{\mathrm{vol}}(M)$.
En mi opinión, este es un resultado sorprendente, ya que es a la vez poderoso y conceptualmente muy claro. Esencialmente no hay duro estimaciones en el papel, sólo las aplicaciones de la Sobolev la incrustación de teoremas, Hodge descomposiciones, propiedades de los campos vectoriales, .... Análisis Global en su mejor!
