¿Por qué es núcleo importante?

Question

¿Por qué estamos interesados en buscar en el núcleo y el rango (imagen) de una transformación lineal en un curso de álgebra lineal?

Answer 1

Un ejemplo a tener en cuenta es una proyección de $\pi: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ a un avión $\Pi$$\mathbb{R}^3$. Este tipo de transformación lineal viene todo el tiempo en los gráficos por ordenador, donde están tratando de representar algo en tres dimensiones en una pantalla de dos dimensiones.

La imagen de esta transformación lineal será el avión $\Pi$ que están proyectando. El núcleo de esta transformación lineal se puede utilizar para responder a la siguiente pregunta: cuando es la proyección de dos puntos de la misma? (Este corersponds a un objeto 'bloquear' el punto de vista de la otra en la pantalla.) La respuesta es que $\vec{v}$ $\vec{w}$ se proyecta que para el mismo punto en el plano si y sólo si $\vec{v} - \vec{w}$ se encuentra en el núcleo de $\pi$. En este sentido, el núcleo le permite detectar cuando dos puntos están siendo proyectadas en el mismo punto.

Transformaciones lineales son más generales que simplemente esta proyección de ejemplo, pero la idea sigue siendo la misma. La imagen de una transformación lineal $L : V \rightarrow W$ entre dos espacios vectoriales sólo indica que el subespacio de vectores en $W$ que son las imágenes de los vectores en $V$ menos que la transformación de $L$. En otras palabras, la imagen dice donde los vectores se envían. El núcleo de una transformación lineal ayuda a detectar cuando dos vectores en $V$ se transforman en el mismo vector en $W$ bajo $L$. Es decir, $L(\vec{v}) = L(\vec{v'})$ si y sólo si $\vec{v} - \vec{v'} \in \text{ker}(L)$.

Answer 2

El Núcleo es una medida de inyectividad: Una transformación lineal es inyectiva si y sólo si el núcleo es trivial.

Intuitivamente, ya que el núcleo se compone de los elementos enviados a $0$, su dimensión indica cuánto se reduce el espacio de origen en el espacio. Si se encoge, se apretón de puntos en la parte superior de uno al otro y perder de inyectividad. Supongamos que tenemos una transformación lineal $T:V \to V$ donde $\dim V=n.$ Si el kernel tiene base $b_1, b_2, \cdots b_m$ y extendemos esto a una base de nuestras originales espacio vectorial $b_1, b_2, \cdots, b_m, b_{m+1}, \cdots b_n$, entonces sabemos que $T(b_{m+1}), \cdots , T(b_n)$ forma una base de $T(V)\subseteq V.$ por tanto $m$ elementos en el núcleo causado la imagen para reducir en $m$ dimensiones de la fuente.

Answer 3

Digamos, desea continuar con un programa de ordenador iniciado por un amigo que no está allí para ayudar, que utiliza, por ejemplo, la reflexión a través de un avión $S$ en 3d. Y digamos que encontrar un hormigón $3\times 3$ de la matriz en el código, denominado 'Refl_S'. ¿Cómo se puede volver a $S$?

Vamos a llamar ahora la matriz $M$, y se supone que es una reflexión a través de algunos de avión $S$. A continuación, para cada una de las $v$, el punto medio $\displaystyle\frac{v+Mv}2$$S$. Así, $$S=ran \left(\frac{I+M}2\right)$$ y, al mismo tiempo $$S^\perp =ker\left(\frac{I+M}2\right)$$

Answer 4

Su pregunta me hizo pensar en el siguiente teorema que creo que es uno de los más importantes teoremas de álgebra lineal:

(Rank-Nulidad-Teorema): Vamos a $V,W$ ser espacios vectoriales con $\mathrm{dim}V < \infty$ $T: V \to W$ lineal en el mapa. Luego tenemos a $$ \mathrm{dim}(\mathrm{im}T) + \mathrm{dim}(\mathrm{ker}T) = \mathrm{dim} V$$

Espero que esto ayude.