Más pequeño del grupo simétrico con el subgrupo de Q

Question

¿Cuál es la menor $n$ de manera tal que los cuaterniones grupo es un subgrupo de $S_n$?

Answer 1

Equivalentemente, queremos saber el más pequeño $n$ tal que $G = Q_8$ actos fielmente en un conjunto de tamaño $n$. Cualquier acción $X$ $G$ se descompone como un discontinuo de la unión de dichas acciones

$$X \cong \sum_i G/H_i.$$

Ahora, $G$ tiene la curiosa propiedad de que todos sus subgrupos son normales, de modo que el núcleo de la acción de la $G$$G/H$$H$. La acción de la $G$ $X$ por lo tanto tiene kernel $\cap_i H_i$, por lo que el juego es encontrar subgrupos de $G$ cuya intersección es trivial tal que la suma de sus índices en $G$ es mínima.

$G$ tiene otra extraña propiedad, que es que todos sus subgrupos no triviales contener su centro $\pm 1$. Por lo tanto la intersección $\cap_i H_i$ puede no ser trivial menos que algunas de las $H_i = 1$. Esto le da a $n = 8$.