¿Existe una topología para que $f(x)=x$ es continua pero $g(x)=x^2$ ¿no?

Question

¿Existe una topología $T$ en $\mathbb R$ de modo que

$f : (\mathbb R,T) \longrightarrow (\mathbb R, T) , f(x) = x $ es continua pero

$g : (\mathbb R,T) \longrightarrow (\mathbb R, T) , g(x) = x^2$ no es continua?

Answer 1

Pruebe la topología de límite inferior en $\mathbb{R}$ . También se llama línea de Sorgenfrey. Una base para los conjuntos abiertos viene dada por intervalos semiabiertos $\{[a,b)\mid a<b\in\mathbb{R}\}$ .

He aquí un ejemplo más fácil. Considere la topología $T$ con tres conjuntos abiertos $T=\{\emptyset,\mathbb{R},(10,20)\}$ . Entonces $f$ es continua, pero $g$ no lo es, ya que $g^{-1}((10,20))=(-\sqrt{20},-\sqrt{10})\cup(\sqrt{10},\sqrt{20})$ que no está abierto.

Answer 2

Si el dominio y el codominio tienen la misma topología, la función identidad $x\mapsto x $ es siempre continua, para cualquier espacio y cualquier topología. En cuanto a una topología que hace $x\mapsto x^2$ discontinua en los reales, prueba a tomar una biyección $h: \Bbb R\to \Bbb R $ que es discontinua en la topología estándar $S $ (cuanto más discontinua mejor), y que $T $ sea la topología que hace que $h $ un homeomorfismo de $(\Bbb R,S) $ a $(\Bbb R,T) $ .

Answer 3

En primer lugar, consideremos la topología $\mathcal{L}_s=\left\{A\subseteq\mathbb{R} | \forall{x}\in A \ \exists n\in\mathbb{N} \ \text{such that} \ \left[x,x+\frac{1}{n}\right)\subseteq A\right\}$ en el codominio de $f$ y $g$ .

A continuación, consideremos la topología en el dominio de $f$ y $g$ definido por $\tau=\left\{f^{-1}[U]=U \ | \ U\in\mathcal{L}_s \right\} $ . Claramente, $f$ es continua (por construcción de la topología).

Afirmamos que $g$ no es continua con esa topología. Consideremos $[a,\infty)$ con $a>0$ . Claramente, $[a,\infty)\in\mathcal{L}_s$ . Entonces, $g^{-1}[[a,\infty)]=(-\infty,-\sqrt{a}]\cup[\sqrt{a},\infty)\notin\tau$

Answer 4

Estaba buscando $T=\mathbb{Z}$ para que $f(2)=\sqrt{2}$ cuando $\sqrt{2}$ no está en $\mathbb{Z}$ .

Esta forma de pensar puede conducir a una solución, si se es mucho más preciso. Recuerda que una topología $T$ debe ser un colección de conjuntos . Así que declarando $T = \mathbb{Z}$ no funciona. En su lugar, intentemos $T = \{\emptyset, \mathbb{Z}, \mathbb{R}\}$ . Podemos comprobar que $f(S)$ está abierto y $g(S)$ no está abierto para cada $S \in T$ .

p.s. Tenga en cuenta que $f(-2) = -2$ no $\sqrt{2}$ desde $f$ es la función de identidad.

Answer 5

La función identidad es siempre continua.

Sea $T=\{\phi, \mathbb R, \{1\}\}.$ Entonces $\{1\}\in T$ pero para $g(x)=x^2$ tenemos $ g^{-1}\{1\}=\{-1,1\}\not \in T$ .

Como ejemplo de topología de Hausdorff, veamos $T$ sea la topología del límite inferior (también conocida como línea de Sorgenfrey) y $g(x)=x^2.$ Entonces $[1,\infty)\in T$ pero $g^{-1}[1,\infty)=(-\infty,-1]\cup [1,\infty)\not \in T.$