La convergencia a la $\infty$?

Question

Por ejemplo, hace la siguiente sumatoria de "converger" a $\infty$?

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac 1 n$$

Si es así, me dan algunos otros ejemplos y explicar lo que significa para convergen hacia el infinito.

También, hay algo especial acerca de una serie convergente hacia el infinito?

Answer 1

Uno dice que $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac 1 {2^n}$ "converge a $2$", NO que "converge en $2$".

Uno dice que $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (-1)^n$ "diverge", pero eso no significa que "se aparta a" nada.

Pero con $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac 1 n$, se podría decir que "converge a $\infty$" por la misma razón, uno dice que la primera suma por encima de "converge a $2$"; sin embargo, es convencional para decir que "diverge a $\infty$".

Sospecho que en última instancia, la justificación de decir "diverge a $\infty$" en lugar de "converge a $\infty$" es que $\infty$ es un elemento absorbente de la suma y de la multiplicación: Si usted agregar cualquier número finito a $\infty$ o multiplicar cualquier número finito por $\infty$, consigue $\infty$, y esto es importante si usted considerar las cosas como $\displaystyle\sum_n \left( \frac 1 n + \frac 1 {2^n} \right)$, etc. Eso explicaría por qué los productos infinite $\displaystyle\prod_{n=1}^\infty a_n$ de los números positivos $a_n$, en algunos casos, dijo que "divergen a $0$" en lugar de "converger a $0$". Que muchos "converger" cualquier número real positivo, pero si el límite es $0$ o $\infty$ se dice que "divergen", como si hubiera algo oscilante como $\displaystyle N\mapsto\sum_{n=1}^N (-1)^n$.

Answer 2

Este es un caso donde la definición más general de un límite práctico:

Una secuencia $s_n$ converge a $L$ si, por cualquier barrio de $L$, hay algunos $N$ todos los $s_m$ $m>N$ están dentro de este barrio.

Donde la palabra "barrio" se refiere a algún conjunto abierto que contiene a $L$. En particular, si tomamos $(L-\varepsilon,L+\varepsilon)$ a ser un barrio de recuperar el $\varepsilon-\delta$ definición de un límite.

Después de esto, uno puede ver que la serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}n$ diverge en $\mathbb R$ porque no existe tal $L$. La manera más fácil de probar que es para ver de que presenta un crecimiento desmesurado. Sin embargo, también se puede trabajar en la prolongación de la línea real donde añadimos $\infty$ $-\infty$ a nuestro juego y decir que un barrio de $\infty$ se ve como un conjunto de $(c,\infty]$, lo que significa que convergen a $\infty$ la secuencia debe crecer más allá de cualquier finito obligado. En este sentido, usted puede encontrar que $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}n$ hecho converger a $\infty$.

Así, si una serie converge o diverge es algo que depende del espacio en el que existe - "converge a $\infty$" significa, básicamente, "crece sin límite" y es natural noción cuando se incluyen las $\infty$ en nuestra serie.

Answer 3

La divergencia se basa en la final de la serie

• ¿los términos que establezca un número (Converge)

• van a ±∞ (Diverge)

• hacer que rebote entre los diferentes números sin decidirse por uno específicamente (Se aparta)

no en la forma de llegar allí

• ¿la distancia entre los términos específicos se hacen más grandes o más pequeñas

Answer 4

La razón por la que no decir que una serie converge hasta el infinito, pero en lugar de *diverge" hasta el infinito es así como el respeto de la equivalencia entre "convergente" y "de Cauchy". Es cierto que en algunos aspectos para una serie divergente a infinito, intuitivamente parece a la serie de sumas parciales es convergente, pero en cualquier caso no es una secuencia de Cauchy.

En más detalle, una secuencia $(u_n)$ es de Cauchy si, como Cauchy definido, la diferencia de $u_n-u_m$ es infinitesimal para todos infinito índices de $n$$n$. Mientras tanto, una secuencia $(u_n)$ que tiende a infinito no tienen esta propiedad. Por ejemplo, para la secuencia de con $n$-ésimo término de $u_n=\sqrt{n}$, el consecutivo términos de $u_n$ $u_{n+1}$ están cada vez más cerca, pero por ejemplo, $u_n$ $u_{2n}$ no están acercando al $n$ tiende a infinito.