Un problema sobre el subespacio complementado

Question

Pregunta: Para cada espacio de Banach $X$, y el subespacio $Y$, existe un subespacio complementado $Z$ $X$ tal que $Y \subset Z \subset X $ $\operatorname{card}(Y)=\operatorname{card}(Z)$ es decir, $Y$ $Z$ tienen la misma cardinalidad?

La respuesta es sí si $\operatorname{card}(X)=\mathfrak c$ (es decir, Continuo), la prueba es fácil, tomando un hyperplane $H$ tal que $Y \subset H \subset X$,$\operatorname{card}(Y)=\operatorname{card}(H)=\mathfrak c$.

Pero no sé si esto tiene para los espacios comunes.

Answer 1

El papel más arriba dice que hay un espacio de Banach (de funciones continuas en un entorno totalmente desconectado compacto Hausdorff espacio) de la densidad κ más grande que la continuidad que no tiene dimensiones infinitas complementa los subespacios de la densidad de la continuidad o más pequeños. En particular, no separables de dimensiones infinitas subespacio tiene un complementado superspace de la densidad de la continuidad o más pequeños. Por lo tanto, para el espacio C(K) construido por el P.~Koszmider, para cada separables subespacio de C(K), no existen complementa subespacio Z que contiene Y tal que la tarjeta(Z)=card(Y), de hecho, el espacio Z tiene tarjeta lager de c.