Probar que el grupo de Galois de $x^5+x^4-4x^3-3x^2+3x+1$ es cíclico de orden $5$

Question

Me han pedido para probar que el grupo de Galois de $x^5+x^4-4x^3-3x^2+3x+1$ (presumiblemente $\mathbb{Q}$ es cíclico de orden $5$. Lamentablemente, no tengo ni idea de por donde empezar.

La sugerencia se dice para mostrar que este es el polinomio mínimo de a $\zeta_{11} + \zeta_{11}^{-1}$. Que supongo que se podría hacer al enchufarlo en el polinomio, pero más probable es que hay un modo mejor de hacerlo. De todos modos, incluso si me podría establecer que, yo no conozco a ninguna de las otras raíces así que no he podido encontrar ninguno de los automorfismos. Supongo que tipo de ayuda porque sería una muestra de que el grupo de Galois había pedido divisible por 5. Excepto un montón de ellos. Creo que estoy completamente ausente el punto de la pista.

La sección acerca de cómo se podrían reducir los polinomios de mod $p$, y el grupo de Galois tendría que contener una permutación con el tipo de ciclo $(n_1 n_2 ... n_k)$, donde $n_1$, ..., $n_k$ son los grados de la irreductible factores (mod $p$). Pero esto no es muy relevante, porque desde el grupo cíclico de primer orden, todas las permutaciones sería de 5 ciclos. Y un montón de otros subgrupos de $S_5$ 5 ciclos.

Así que en este momento estoy un poco atascado. Me puedes dar una pista de cómo resolver el problema? Gracias!

P. S. Nos permite utilizar el programa de ordenador de SAGE para esta tarea, pero no el comando que se calcula para el grupo de Galois. También, he intentado utilizar la SALVIA para calcular las raíces pero a mí me dio las respuestas numéricas.

Answer 1

Supongamos que usted ha demostrado que el polinomio mínimo de a $\zeta_{11}+\zeta_{11}^{-1}$ es el dado por el polinomio.

¿Qué significa eso $[\mathbb{Q}(\zeta_{11}+\zeta_{11}^{-1}):\mathbb{Q}]$ es?

Para cualquier $n$, sabemos que $\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q}$ es de Galois, y $\text{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q})\cong(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ (o, si esto no ha salido en la clase, usted debe probar por separado para hacer su argumento completo). En particular, $$\text{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{11})/\mathbb{Q})\cong(\mathbb{Z}/11\mathbb{Z})^\times\cong \mathbb{Z}/10\mathbb{Z},$$ el grupo cíclico de orden 10.

Tenga en cuenta que $\mathbb{Q}(\zeta_{11})\supset\mathbb{Q}(\zeta_{11}+\zeta_{11}^{-1})$.

El grupo cíclico de orden $n$ tiene un único subgrupo de tamaño $d$, para cada una de las $d\mid n$. Por lo tanto, también tiene un único cociente de un grupo de tamaño $d$, para cada una de las $d\mid n$.

Sabemos que $[\mathbb{Q}(\zeta_{11}+\zeta_{11}^{-1}):\mathbb{Q}]=|\text{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{11}+\zeta_{11}^{-1})/\mathbb{Q})|$.

¿Qué significa eso $\text{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{11}+\zeta_{11}^{-1})/\mathbb{Q})\cong\text{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{11})/\mathbb{Q})\bigg/\text{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{11})/\mathbb{Q}(\zeta_{11}+\zeta_{11}^{-1}))$ es?

Answer 2

La forma más sencilla de demostrar que el polinomio mínimo es esta es solo conectar y desarrollar usando el teorema del binomio ; recuerde que $\zeta_n \zeta_m = \zeta_{n+m}$ y $\zeta_{n} \zeta_m^{-1} = \zeta_{n-m}$ cuando estás de computación, y luego demostrar su irreductibilidad al darse cuenta de que $1$ $-1$ no son las raíces de (racionales teorema de la raíz), además de que no factor como un producto de grado $2$ $3$ (el uso de álgebra lineal para hacer esta parte).

Ahora $[\mathbb Q(\zeta_{11}+\zeta_{11}^{-1}) : \mathbb Q] = 5 = |\mathrm{Gal}(\mathbb Q(\zeta_{11}+\zeta_{11}^{-1}) \backslash \mathbb Q)| $ e las $5$ proviene del hecho de que la dimensión de la extensión divide $5$ (obviamente), pero no es $10$ desde $\mathbb Q(\zeta_{11}) \neq \mathbb Q(\zeta_{11} + \zeta_{11}^{-1})$ . Ya que el único grupo de la orden de $5$ es el cíclico uno, que está hecho. (No trivial elemento del grupo ha pedido dividiendo $5$, por lo tanto $5$, por lo que el grupo es cíclico.)