La expectativa con la raíz cuadrada

Question

No sé cómo calcular la expectativa de cuando hay alguna raíz cuadrada de la expresión. Mi problema es el siguiente: tenemos tres reales de variables aleatorias $X,Y,Z$, independientes y con distribución normal estándar $N(0,1)$ y queremos calcular $$E\left(\frac{1}{2} \left(X + Z + \sqrt{X^2 + 4 Y^2 - 2 XZ + Z^2}\right)\right).$$

Cómo puede hacerse esto?

Gracias.

Answer 1

Estoy asumiendo que $X$, $Y$, y $Z$ son mutuamente independientes, estándar de Gauss.

La expresión de su expectativa puede ser simplificado.

Nos deja denotar su expectativa como $E$.

En primer lugar, observa que el $X$ $Y$ cero-media, de modo $$ E = \frac{1}{2}\mathsf{E}\left[\sqrt{X^2 + 4Y^2 - 2XZ + Z^2}\right] $$

Agrupación de términos, hemos $$ \begin{align} E &= \frac{1}{2}\mathsf{E}\left[\sqrt{4Y^2 + (X-Z)^2}\right] \\ &= \frac{1}{2}\mathsf{E}\left[\sqrt{4Y^2 + (X+Z)^2}\right]. \end{align} $$ La última igualdad se mantiene debido a $Z$ $-Z$ tienen la misma distribución, debido al hecho de que la distribución de $Z$ es simétrica alrededor de $0$. Además, desde la $X$ $Z$ son independientes de Gauss estándar, que su suma es cero significa Gaussiano con varianza $2$. Es decir, la suma de $X+Z$ tiene la misma distribución que $\sqrt{2}X$. Por lo tanto, $$ \begin{align} E &= \frac{1}{2}\mathsf{E}\left[\sqrt{4Y^2 + (\sqrt{2}X)^2}\right] \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2}\mathsf{E}\left[\sqrt{2Y^2 + X^2}\right] \end{align} $$ @bobbym ha proporcionado una forma cerrada de la expresión de esta expectativa calculada con Mathematica en términos de una integral elíptica (ver más abajo). La forma de obtenerlo es la siguiente: $$ \begin{align} E &= \frac{\sqrt{2}}{2}\int_0^\infty\int_0^\infty\sqrt{2y^2 + x^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-y^2/2} \ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \\ &= \frac{\sqrt{2}}{4\pi}\int_0^\infty\int_{-\pi}^{\pi}r^2\sqrt{1+\sin^2\theta} e^{-r^2/2} \ \mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta. \end{align} $$ Esto se obtiene por medio de la sustitución $$ \begin{align} x &= r\cos(\theta) \\ y &= r\sin(\theta) \end{align} $$ A continuación, utilice $$ \int_0^\infty r^2 e^{-r^2/2} \mathrm{d}r = \sqrt{2\pi} $$ y la simetría de la integral sobre la $\theta$ $$ \begin{align} E &= \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\pi}\sqrt{1+\sin^2\theta} \,\mathrm{d}\theta \\ &= \frac{\operatorname{E}(-1)}{\sqrt{\pi}} \end{align} $$ consistentemente con lo que @bobbym calculada.

Answer 2

@jens

La línea debe leer como

$\begin{align} E &= \frac{1}{2}\mathsf{E}\left[\sqrt{4Y^2 + (\sqrt{2}X)^2}\right] \\ \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2}\mathsf{E}\left[\sqrt{2Y^2 + X^2}\right] \end{align}$

(Veo que lo han hecho.)

Ahora Mathematica puede hacer el cálculo con facilidad y obtener:

$E=\frac{EllipticE(-1)}{\sqrt{\pi }}\approx 1.0776657899830802$

lo cual está de acuerdo con las simulaciones.