Demuestra que si la integral de una función al cuadrado es cero, entonces la función es cero

Question

Casi tengo esta prueba hecha pero no consigo justificar un pequeño paso. Va:

Dejemos que $f$ sea una función continua de valor real sobre $[a,b]$ . Demostrar que si $$\int_a^b [f(x)]²\ dx = 0$$ entonces $$f(x)=0 \,\,\,\,\,\,\,\,\forall x \in [a,b]$$

Empiezo por definir $$F(x) = \int_a^x [f(t)]²\ dt$$ Desde $f$ es continua, entonces $F'(x)=[f(x)]²\ge0 \;\;\;\;\; \forall x \in [a,b]$ . Así, $F$ está aumentando en $[a,b]$ .

Está claro que $F(a)=0$ y por hipótesis $F(b)=0$ . Si pudiera justificar por qué esto significa que $F$ debe ser una función constante en $[a,b]$ entonces mi prueba estaría completa, ya que eso significaría $F'(x)=0\;\;\forall x\in[a,b]$ y por lo tanto $f(x)=0\;\;\forall x\in[a,b]$ .

¿Podría alguien decirme si hay algún teorema o algo que me permita justificar el paso clave?

Answer 1

Para completar la prueba a lo largo de las líneas que usted comenzó: $F$ es creciente (no decreciente) en todo el intervalo. $F(a) = F(b)$ . Para cualquier $x$ entre $a$ y $b$ , $F(a) \le F(x) \le F(b) = F(a)$ . Así que las desigualdades deben ser igualdades.

Answer 2

Supongamos que existe $x_0\in[a,b]$ con $f(x_0) \neq 0$ entonces $[f(x_0)]^2>0$ Aviso $g(x)=[f(x)]^2\ge0$ es una función continua. así que $x_0$ hay un $\epsilon>0$ tal que para cualquier $x\in[x_0-\epsilon,x_0+\epsilon] ,g(x)>0$ por lo que $0<\int_{x_0-\epsilon}^{x_0+\epsilon}{g(x)}=\int_{x_0-\epsilon}^{x_0+\epsilon}{[f(x)]^2}\le\int_{a}^{b}{[f(x)]^2}$ Y es una contradicción.

por lo que hay no $x\in[a,b]$ con $f(x) \neq 0$ $\implies f(x)=0$