Desconocido expansión de Taylor

Question

He llegado a través de algunos aparentemente relacionados con expansiones de Taylor, como se detalla a continuación:

$$\begin{align} &\dots\frac{a^7}{140}-\frac{a^6}{80}-\frac{3 a^5}{40}-\frac{a^4}{8}+\frac{a^2}{2}+a+1&&=\exp \left(a-\frac{a^3}{6}\right)&\tag{1}\\ \\ &\dots\frac{11 a^7 b}{1120}+\frac{a^6 b}{32}+\frac{a^5 b}{40}-\frac{a^4 b}{16}-\frac{a^3 b}{4}-\frac{a^2 b}{4}+\frac{b}{2}&&=?&\tag{2}\\ \end{align}$$

La primera fue bastante fácil adivinar la forma cerrada en el lado derecho, pero el de abajo, estoy atascado en. El extra $b$ es, obviamente, hacer algo para los coeficientes, pero no sé qué. Hay buenas estrategias para la búsqueda de una forma cerrada para $(2$)?

Por desgracia, no tengo toda la información de fondo en ellas, por lo tanto es pura conjetura.

Actualización

Es de todos conocido coeficientes de $(2)$:

$$\frac{1}{2},0,-\frac{1}{4},-\frac{1}{4},-\frac{1}{16},\frac{1}{40},\frac{1}{32},\frac{11}{1120},-\frac{1}{1280},-\frac{43}{20160}$$

Answer 1

$$\frac{1}{2} (1-a)\exp\left (\frac{a^3}{6}\right)= \frac{1}{2}-\frac{a^2}{4}-\frac{a^3}{4}-\frac{a^4}{16}+\frac{a^5}{40}+\frac{a^6}{32}+\frac{11 a^7}{1120}-\frac{a^8}{1280}-\frac{43 un^9}{20160}-\frac{69 a^{10}}{89600}+O\left(a^{11}\right)$$