¿De qué es la variación del término de Gauss-Bonnet una derivada total?

Question

¿Cuál es la variación de Gauss-Bonnet plazo de la derivada total de?

es decir, la variación de la combinación Gauss-Bonnet $= \nabla_{\mu} C^{\mu}$ .

¿Qué es? $C^{\mu}$ en 4 dimensiones?

Answer 1

Según este sitio web , para una variedad de cuatro dimensiones, $$G = \nabla_{\alpha}J^{\alpha},$$ donde $$G = R^2 -4 R_{\alpha \beta} R^{\alpha \beta} + R_{\alpha \beta \gamma \delta}R^{\alpha \beta \gamma \delta},$$ y $$J^{\alpha} = \epsilon^{\alpha \beta \gamma \delta} \epsilon_{\rho \sigma}^{\;\;\; \mu \nu} \Gamma^{\rho}_{\;\; \mu \beta} \left[ \frac{1}{2} R^{\sigma}_{\;\; \nu \gamma \delta} + \frac{1}{3} \Gamma^{\sigma}_{\;\; \lambda \gamma} \Gamma^{\lambda}_{\;\; \nu \sigma} \right].$$ Así que $G$ se convierte en un término topológico en la acción, que no contribuye a la dinámica. Sin embargo, todavía tengo que comprobarlo yo mismo...

Answer 2

Si sólo quiere saber por qué el término de Gauss-Bonnet es topológico, debería echar un vistazo a el teorema de gauss bonet generalizado .

La integral sobre el término de gauss-bonet es proporcional a la característica de euler, que es un invariante topológico, por lo que no puede contribuir a la dinámica.