I) En esta respuesta nos gustaría para relajar la definición convencional de una fuerza conservadora que incluyen, por ejemplo, la fuerza de Lorentz.
II) La definición estándar de una fuerza conservadora se da en la Wikipedia (octubre de 2013) más o menos la siguiente:
Un campo de fuerza ${\bf F}={\bf F}({\bf r})$ se llama una fuerza conservadora si se cumple alguna de estas tres condiciones equivalentes:
La fuerza puede ser escrito como el negativo del gradiente de un potencial de $U=U({\bf r})$:
$$\tag{1} {\bf F} ~=~ - {\bf \nabla} U. $$
De forma equivalente, la condición (1) significa que la forma- $\phi:={\bf F}\cdot \mathrm{d}{\bf r}$ es exacto: $\phi=-\mathrm{d}U$, donde el exterior derivada es $\mathrm{d}:=\mathrm{d}{\bf r}\cdot{\bf \nabla}$.
La posición del espacio es simplemente conectado y el curl de ${\bf F}$ es cero:
$$\tag{2} {\bf \nabla} \times {\bf F} ~=~ {\bf 0}. $$
De forma equivalente, la condición (2) significa que la forma- $\phi:={\bf F}\cdot \mathrm{d}{\bf r}$ se cierra: $\mathrm{d}\phi=0$.
Hay cero neto de trabajo $W$ realizado por la fuerza ${\bf F}$ al mover una partícula a través de una curva cerrada ${\rm r}: S^1 \to \mathbb{R}^3$ que empieza y termina en la misma posición:
$$\tag{3} W ~\equiv~ \oint_{S^1} \!\mathrm{d}s~ {\bf F}({\bf r}(s)) \cdot {\bf r}^{\prime}(s) ~=~ 0. $$
Insistimos en que el parámetro de $s$ no tiene que ser tiempo real $t$. De hecho, el tiempo de $t$ no entra en las condiciones de (1-3). La curva en la condición (3) podría ser cualquier bucle virtual. En particular, la curva y su parametrización $s$ hacer, en principio, no tienen que reflejar cómo un verdadero punto de partícula de viaje a lo largo de una trayectoria en un cierto ritmo determinado por algunas de las ecuaciones de movimiento, mucho menos avanzar en el tiempo.
III) Ahora recuerdo que un dependiente de la velocidad potencial de $U=U({\bf r},{\bf v},t)$ de una fuerza de ${\bf F}$, por definición satisface
$$\tag{4} {\bf F}~=~\frac{d}{dt} \frac{\partial U}{\partial {\bf v}} - \frac{\partial U}{\partial {\bf r}}, \qquad {\bf v}~=~\dot{\bf r},$$
cf. Ref. 1. A continuación definimos el potencial de la parte de la acción como
$$\tag{5} S_{\rm pot}[{\bf r}]~:=~\int_{t_i}^{t_f} \!\mathrm{d}t~U({\bf r}(t),\dot{\bf r}(t),t),$$
y tenga en cuenta que la ecualización. (4) puede escribirse con la ayuda de un funcional derivada como
$$\tag{6} F_i(t)~=~-\frac{\delta S_{\rm pot}}{\delta x^i(t)}, \qquad i~\in~\{1,2,3\}. $$
Técnicamente en este punto necesitamos pertinente imponer las condiciones de contorno (BC) (por ejemplo, de Dirichlet BC) en la hora inicial y hora final, $t_i$$t_f$, respectivamente, en orden para el funcional de derivados (6) existe. Estos BC se asume de forma implícita a partir de ahora.
Descartamos la posibilidad de que a uno le gusta llamar a una fuerza con la explícita dependencia del tiempo para una fuerza conservadora. Acerquémonos, pues, de la gota de tiempo explícito de la dependencia a partir de ahora. Sin embargo, ver este Phys.SE post.
IV) se Ve en la luz que en función de la velocidad de los potenciales (4) son muy útiles en las formulaciones de Lagrange, es tentador para generalizar la noción de una fuerza conservadora en la siguiente no forma estándar:
Un dependiente de la velocidad de la fuerza de campo ${\bf F}={\bf F}({\bf r},{\bf v})$ se llama una fuerza conservadora si se cumple alguna de estas tres condiciones equivalentes:
La fuerza puede ser escrito como el negativo del gradiente funcional de un potencial de acción $S_{\rm pot}[{\bf r}]=\int_{t_i}^{t_f} \!\mathrm{d}t~U({\bf r}(t),\dot{\bf r}(t))$:
$$\etiqueta{1'} {\bf F} ~=~ -\frac{\delta S_{\rm bote}}{\delta {\bf r}}
~\equiv~\frac{d}{dt} \frac{\partial U}{\partial {\bf v}} - \frac{\partial U}{\partial {\bf r}} . $$
De forma equivalente, la condición (1') significa que la forma- $\Phi:=\int_{t_i}^{t_f}\!\mathrm{d}t~ F_i(t)\mathrm{d}x^i(t)$ es exacta en la ruta de espacio: $\Phi=-\mathrm{d}S_{\rm pot}$, donde el exterior derivada es $\mathrm{d}:=\int_{t_i}^{t_f}\!\mathrm{d}t~ \mathrm{d}x^i(t)\frac{\delta}{\delta x^i(t)}$.
La posición del espacio es simplemente conectado y la fuerza de ${\bf F}$ satisface una
closedness condición wrt. funcionales derivados
$$\etiqueta{2'} \frac{\delta F_i(t)}{\delta x^j(t^{\prime})}
~=~[(i,t) \longleftrightarrow (j,t^{\prime})]. $$
De forma equivalente, la condición (2') significa que la forma- $\Phi:=\int_{t_i}^{t_f}\!\mathrm{d}t~ F_i(t)\mathrm{d}x^i(t)$ es cerrado en la ruta de espacio: $\mathrm{d}\Phi=0$. El equivalente de Helmholtz condiciones [2] wrt. parcial y total de productos derivados de lectura
$$ \frac{\partial F_i}{\partial x^j}
-\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\frac{\partial F_i}{\partial v^j}
~=~[i \longleftrightarrow j], \qquad
\frac{\partial F_i}{\partial v^j}~=~-[i \longleftrightarrow j].$$
La siguiente integral (3') a través de una de dos ciclos de ${\rm r}: S^2 \to \mathbb{R}^3$ se desvanece siempre:
$$\tag{3'} \oint_{S^2}\!\mathrm{d}t \wedge \mathrm{d}s~ {\bf F}({\bf r}(t,s),\dot{\bf r}(t,s)) \cdot {\bf r}^{\prime}(t,s) ~=~ 0. $$
Aquí un punto y una excelente media de diferenciación wrt. $t$ $s$ , respectivamente.
Con esta definición (1'-3') de una fuerza conservadora, a continuación, por ejemplo, la fuerza de Lorentz y la fuerza de Coriolis convertido a las fuerzas conservadoras, mientras que la fuerza de fricción ${\bf F}=-k {\bf v}$ permanecerá un no-conservadora de la fuerza, cf. este y este Phys.SE respuestas.
Cabe decir que no son sencillas de hacer generalizaciones de las condiciones de (1'-3'):
En primer lugar, uno puede permitir que la fuerza de ${\bf F}={\bf F}({\bf r}, {\bf v}, {\bf a}, {\bf j},\ldots)$ a depender de la aceleración, idiota, etc.
En segundo lugar, se puede generalizar para generalizada posiciones $q^i$, la generalización de las velocidades de la $\dot{q}^i$, y generalizado de las fuerzas de $Q_i$, etc.
Por último, señalemos que esta construcción (1'-3') es, en espíritu, relacionadas con el problema inverso de la mecánica de Lagrange.
Referencias:
H. Goldstein, De La Mecánica Clásica, Capítulo 1.
H. Helmholtz, Ueber die physikalische Bedeutung des Prinzips der kleinsten
Wirkung, J. für die reine u. angewandte de Matemáticas. 100 (1887) 137.
