Heurística de la suma de cuadrados naturals $(1^2 + 2^2 + 3^2 \cdots + n^2)$

Question

Soy nuevo y esta es mi primera pregunta (aunque he estado al acecho). El inglés no es mi lengua nativa. Estudiando por mi cuenta.

Estoy muy interesado en la obtención de la fórmula de $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \cdots+ n^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ utilizando sólo los siguientes:

Dada: para $n$, $a$, $b$, $c$, $z$, $y$ los enteros positivos

$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ $ a^2 + b^2 + c^2 \cdots+ z^2 =(a + b + \cdots + z)^2 - 2ab - 2ac - \cdots - 2az - 2bc - \cdots -2bz - \cdots - 2$zy

Yo podría escribir

$$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \cdots+ n^{2} = [\frac{n(n+1)}{2}]^{2} - 2(1\cdot2) - 2(1\cdot3) - \cdots- 2(1\cdot n) - 2(2\cdot3) - \cdots - 2(2\cdot n) - \cdots -2(n-1)(n)$$

Y, a continuación, observe que:

$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \cdots+ n^{2} = [\frac{n(n+1)}{2}]^{2} - 2[1(2 + 3 + \cdots+n)] - 2[2(3 + 4 + \cdots+ n)] - \cdots -2[(n-1)(n)]$

Que es

$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \cdots n^{2} = [\frac{n(n+1)}{2}]^{2} - 2[\frac{n(n+1)}{2} -1] - 2[\frac{2n(n+1)}{2} - (1 +2)] -\cdots -2[\frac{(n-1)n(n+1)}{2} - (1 +2 + \cdots+n -1)]$

Para simplificar

$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \cdots+ n^{2} = [\frac{n(n+1)}{2}]^{2} - 2[(1 + 2 +\cdots+ n-1)\frac{n(n+1)}{2} - 1(n-1) -2(n-2) - \cdots - (n-1)1]$

Editar (29/01): reflexión al respecto

$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \cdots+ n^{2} = [\frac{n(n+1)}{2}]^{2} - 2[(1 + 2 +\cdots+ n-1)\frac{n(n+1)}{2} - 2(1 + 2 +\cdots n-1)]$

Y, a continuación,

$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \cdots+ n^{2} = [\frac{n(n+1)}{2}]^{2} - 2[(\frac{(n-1)n}{2})(\frac{n(n+1)}{2}) - \frac{2n(n-1)}{2}]$

Así

$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \cdots+ n^{2} = [\frac{n(n+1)}{2}]^{2} - 2[\frac{n^{2}(n^{2}-1)}{2} - \frac{2n(n-1)}{2}]$

Entonces

$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \cdots+ n^{2} = [\frac{n^{2}(n^{2}+2n+1)}{4}] - 4[\frac{n^{4}-3n^{2}-2n}{4}]$

Pero ahora

$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \cdots+ n^{2} = \frac{n(-3n^{3}+2n^{2}-11n-2)}{4}$

Ok, ahora sé que es jodido, pero aún no puedo entender por qué

Answer 1

La mejor forma que he visto es empezar con una diferencia de $(p+1)$-th poderes, donde $p$ es la alimentación en la suma que quieras (creo que esto es lo Jaycob Coleman alude en su comentario, el 3 de abril). En nuestro caso:

$(k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1$

Luego de aplicar esta identidad de $k=1$ $k=n$donde $n$ es el límite superior de la sumatoria. Este es un telescópico de la serie:

$\boxed{\begin{eqnarray*} 2^3 - 1^3 &= 3\cdot1^2 + 3\cdot1 + 1 \\ 3^3 - 2^3 &= 3\cdot2^2 + 3\cdot2 + 1 \\ &... \\ (n+1)^3 - n^3 &= 3\cdot{n^2} + 3\cdot{n} + 1 \\ \end{eqnarray*}}$

Sumando todos los términos (y cancelación en el lado izquierdo):

$(n+1)^3 - 1^3 = 3\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}{k^2} + 3\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}{k} + \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}{1}$

Llamar a la suma queremos $S$, y reconociendo los últimos dos sumas como $\dfrac{n^2+n}{2}$ $n$ tenemos,

$3S + 3\dfrac{n^2+n}{2} + 3n = (n+1)^3 - 1 = n^3 + 3n^2 + 3n$

Resolver esto para obtener $\boxed{S = \frac{1}{3}n^3 + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{6}n}$ que puede ser factorizado como $\boxed{S = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$

Comentarios

La belleza de este enfoque es que se puede obtener la suma de los $p-th$ poderes de $1,...,n$ con sólo el conocimiento de la suma de todas las potencias inferiores de $1,...,n$ y algunos de álgebra.