Tengo problemas para manipular la función de esta serie que tiene factoriales para demostrar que converge o diverge utilizando la prueba de la razón.
La serie es $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{(k!)^2}{(2k)!}$ . Los siguientes son los pasos que utilicé, pero cometí un error al expandir/cancelar la parte del factorial en algún lugar que no puedo averiguar..
Primero escriba el límite utilizando la prueba de la proporción: $$\lim\limits_{k\to\infty}\dfrac{((k+1)!)^2}{(2k+2)!}\cdot\dfrac{(2k)!}{(k!)^2}$$ Expandir para cancelar los factoriales: $$\lim\limits_{k\to\infty}\dfrac{((k+1)(k!))^2}{(2k+2)(2k+1){(2k)}!}\cdot\dfrac{(2k)!}{(k!)^2}$$
Luego, después de cancelar, recibí:
$$\lim\limits_{k\to\infty}\dfrac{(k+1)^2}{(2k+2)(2k+1)}$$
Esto daría lugar a polinomios del mismo grado en el numerador y el denominador, y los coeficientes del $k^2$ término sería 1 y 4, por lo que dije que la serie converge porque $\dfrac{1}{4} < 1$ lo que significa que la serie converge por la prueba de la proporción. Sin embargo, se supone que la serie diverge según mi libro. No tengo mucha práctica trabajando con factoriales así que sé que mi error debe estar en alguna parte. Se agradece cualquier ayuda.