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Series infinitas con factorial

Tengo problemas para manipular la función de esta serie que tiene factoriales para demostrar que converge o diverge utilizando la prueba de la razón.

La serie es $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{(k!)^2}{(2k)!}$ . Los siguientes son los pasos que utilicé, pero cometí un error al expandir/cancelar la parte del factorial en algún lugar que no puedo averiguar..

Primero escriba el límite utilizando la prueba de la proporción: $$\lim\limits_{k\to\infty}\dfrac{((k+1)!)^2}{(2k+2)!}\cdot\dfrac{(2k)!}{(k!)^2}$$ Expandir para cancelar los factoriales: $$\lim\limits_{k\to\infty}\dfrac{((k+1)(k!))^2}{(2k+2)(2k+1){(2k)}!}\cdot\dfrac{(2k)!}{(k!)^2}$$

Luego, después de cancelar, recibí:

$$\lim\limits_{k\to\infty}\dfrac{(k+1)^2}{(2k+2)(2k+1)}$$

Esto daría lugar a polinomios del mismo grado en el numerador y el denominador, y los coeficientes del $k^2$ término sería 1 y 4, por lo que dije que la serie converge porque $\dfrac{1}{4} < 1$ lo que significa que la serie converge por la prueba de la proporción. Sin embargo, se supone que la serie diverge según mi libro. No tengo mucha práctica trabajando con factoriales así que sé que mi error debe estar en alguna parte. Se agradece cualquier ayuda.

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Derick Bailey Puntos 37859

La serie se supone que diverge según mi libro .

A menos que ese libro sea la Biblia, te sugiero que tomes cualquier información contenida en él con un grano de sal. :-) Como ya han señalado otros comentaristas, la serie converge, así que lo has hecho bien. Más aún, su valor es $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{2n\choose n}=\frac13+\frac{2\pi\sqrt3}{27}$ . Lo sabemos por el resultado más general $$\sum_{n=1}^\infty\frac{(2x)^{2n}}{{2n\choose n}n^2}=2\arcsin^2x\quad\iff\quad\Big(1-x^2\Big)\cdot\sum_{n=0}^\infty\frac{(2x)^{2n}}{2n\choose n}=1+\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\arcsin x,$$ $\quad$ que se puede deducir integrando el serie binomial ampliación de $\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin'x$ .

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Stephan Aßmus Puntos 16

Para los números enteros $1 \leq j \leq k,$ encontramos $(j + k) \geq 2 j.$ Como resultado, $$ \frac{(k!)^2}{(2k)!} = \prod_{j=1}^k \frac{j}{j+k} \leq \prod_{j=1}^k \frac{1}{2} = \frac{1}{2^k} $$

Detalle, $$ \frac{j+k}{j} = 1 + \frac{k}{j} \geq 1 + 1 = 2, $$ así que $$ \frac{j}{j+k} \leq \frac{1}{2} $$

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