Los puntos (a) y (b) en la pregunta, según el libro que usted cita en un comentario, la definición de la cruz-producto; de hecho, que debe ser complementado por un derecho-regla de la mano, ya que éstas determinan el producto hasta sólo un signo. Así que veo dos partes esenciales para su pregunta. Uno de ellos es el (c) entra en la imagen. La otra es la razón por (a), (b), y el de la derecha la regla de la mano son una definición razonable y cuál es su motivación.
La pregunta acerca de (c) es relativamente fácil, ya que esta fórmula se sigue de (a) y (b). Específicamente, si $\vec a,\vec b,\vec c$ son las tres caras de un paralelepípedo, entonces el volumen de este paralelepípedo está dada por su área de la base de veces su altura. Si se establece el paralelepípedo hacia abajo en la cara se extendió por $\vec b$$\vec c$, entonces el producto cruzado $\vec b\times\vec c$ de estos tiene magnitud igual al área de la base y está dirigida a lo largo de la altura deseada. Mientras tanto, el tercer lado $\vec a$ podría estar en un ángulo extraño, en parte paralelo y en parte perpendicular a la base; su componente perpendicular a la base, lo que le da el paralelepípedo de la altura, es su longitud veces el coseno del ángulo entre ella y $\vec b\times\vec c$. Afortunadamente, el dot-producto de dos vectores es el producto de sus longitudes veces el coseno del ángulo entre ellos, por lo $\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)$ es el volumen del paralelepípedo. El valor absoluto en (c), debido a los volúmenes que se toman para ser positivo y no he sido cuidadoso acerca de los signos de los vectores u orientaciones de parallelepipeds.
Ahora a por el más difícil pregunta: ¿por Qué fue esta definición de la cruz-productos inventado en primer lugar, y por qué es razonable? Hay varias respuestas disponibles, pero no sé la historia. Voy a enumerar algunos de los hechos que podrían hacer que la definición de un mejor aspecto.
En primer lugar, el producto tiene al menos algunas buenas propiedades algebraicas. En particular, es bilineal:
$$
(\lambda\vec b)\times\vec c=\vec b\times(\lambda\vec c)=\lambda(\vec b\times\vec c)
$$
y
$$
(\vec b_1+\vec b_2)\times\vec c=(\vec b_1\times\vec c)+(\vec b_2\times\vec c)
$$
y lo mismo ocurre cuando la suma es en el segundo factor. La primera de estas dos fórmulas es bastante obvio, pero la segunda no lo es; sería un error si, por ejemplo, hemos utilizado alguna otra función trigonométrica en lugar de la sinusoidal en (b).
Existen profundas agradable propiedades algebraicas, summarizable diciendo que el producto cruzado hace $\mathbb R^3$ en una Mentira álgebra.
Que conecta con la geometría, en la que esta Mentira álgebra es el álgebra de Lie del grupo de $SO(3)$ de rotaciones de $\mathbb R^3$ sobre el origen.
Por supuesto, el paralelepípedo de la fórmula (c) proporciona otra conexión con la geometría.
El producto se produce de forma natural en varios lugares en la física. Por ejemplo, la fuerza ejercida por un campo magnético sobre una carga en movimiento es proporcional al producto vectorial del vector de campo y el vector velocidad de la partícula.
Me voy a parar aquí porque estoy fuera de tiempo, pero hay otras historias para ser contadas, que van desde el exterior álgebra y cuaterniones en matemáticas para el movimiento de rotación en la física. (Suponemos que la definición de vino originalmente de la física.)
